Question

下图中的矩形 $ABCD$ 满足 $AB=12\sqrt3$ 和 $BC=13\sqrt3$ 。对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于 $P$ 。若剪下并移除三角形 $ABP$ ，将边 $AP$ 与 $BP$ 接合，再沿线段 $CP$ 和 $DP$ 折叠，就得到一个四个面均为等腰三角形的三棱锥。求该三棱锥的体积。

The rectangle $ABCD$ below has dimensions $AB=12\sqrt3$ and $BC=13\sqrt3.$ Diagonals $AC$ and $BD$ intersect at $P.$ If triangle $ABP$ is cut out and removed, edges $AP$ and $BP$ are joined, and the figure is then creased along segments $CP$ and $DP,$ we obtain a triangular pyramid, all four of whose faces are isosceles triangles. Find the volume of this pyramid.

答案

答案：594

知识点：棱锥立体几何坐标几何

难度评级：2560

小提示：

$AP$ 与 $BP$ 接合后，顶点 $A$ 和 $B$ 合为一个顶点；求四面体的全部六条棱长

After $AP$ and $BP$ are joined, vertices $A$ and $B$ become one vertex; determine all six edge lengths of the tetrahedron

大提示：

将 $C$ 、 $D$ 和接合后的顶点置于同一坐标平面，再利用 $P$ 到另外三个顶点的距离相等来确定它的位置

Place $C,$ $D,$ and the joined vertex in one coordinate plane, then locate $P$ from its equal distances to the other vertices

解答：

折叠后， $A$ 与 $B$ 合为一个顶点 $X$ 。矩形的每条半对角线长为 $\frac{\sqrt{939}}{2}$ 。因此 $XP=CP=DP=\frac{\sqrt{939}}2\text{，}$ 而 $XC=XD=13\sqrt3$ ，且 $CD=12\sqrt3$ 。

取 $\begin{aligned}C&=(-6\sqrt3,0,0),\\D&=(6\sqrt3,0,0)\end{aligned}\text{，}$ 并令 $X=(0,\sqrt{399},0)$ 。这些坐标使 $X$ 到 $C$ 和 $D$ 的距离符合要求。因为 $P$ 到 $C$ 与 $D$ 的距离相等，设 $P=(0,u,h)$ 。令 $PC^2$ 与 $PX^2$ 相等，得到 $u=\frac{291}{2\sqrt{399}}\text{。}$ 再由 $PC^2=\frac{939}{4}$ 得 $h^2=\frac{507}{4}-u^2=\frac{9801}{133}\text{，}$ 所以 $h=\frac{99}{\sqrt{133}}$ 。

底面三角形 $XCD$ 的面积为 $\frac12(12\sqrt3)(\sqrt{399})=18\sqrt{133}\text{。}$ 因此三棱锥的体积为 $\frac13(18\sqrt{133})\left(\frac{99}{\sqrt{133}}\right)=594\text{。}$

After folding, $A$ and $B$ become one vertex $X.$ Each half-diagonal of the rectangle has length $\frac{\sqrt{939}}{2}.$ Thus $XP=CP=DP=\frac{\sqrt{939}}2,$ while $XC=XD=13\sqrt3$ and $CD=12\sqrt3.$

Place $\begin{aligned}C&=(-6\sqrt3,0,0),\\D&=(6\sqrt3,0,0),\end{aligned}$ and $X=(0,\sqrt{399},0).$ These coordinates give the required lengths from $X$ to $C$ and $D.$ Because $P$ is equidistant from $C$ and $D,$ write $P=(0,u,h).$ Equating $PC^2$ and $PX^2$ gives $u=\frac{291}{2\sqrt{399}}.$ Then $PC^2=\frac{939}{4}$ yields $h^2=\frac{507}{4}-u^2=\frac{9801}{133},$ so $h=\frac{99}{\sqrt{133}}.$

The base triangle $XCD$ has area $\frac12(12\sqrt3)(\sqrt{399})=18\sqrt{133}.$ Therefore the pyramid’s volume is $\frac13(18\sqrt{133})\left(\frac{99}{\sqrt{133}}\right)=594.$

1990 AIME 第 14 题

答案：594

难度评级：2560

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题