Question

在三角形 $ABC$ 中，点 $A'$ 、 $B'$ 和 $C'$ 分别位于边 $BC$ 、 $AC$ 和 $AB$ 上。已知 $AA'$ 、 $BB'$ 和 $CC'$ 交于点 $O$ ，且 $\frac{AO}{OA'}+\frac{BO}{OB'}+\frac{CO}{OC'}=92\text{，}$ 求 $\frac{AO}{OA'}\cdot\frac{BO}{OB'}\cdot\frac{CO}{OC'}\text{。}$

In triangle $ABC,$ $A',$ $B',$ and $C'$ are on the sides $BC,$ $AC,$ and $AB,$ respectively. Given that $AA',$ $BB',$ and $CC'$ are concurrent at the point $O,$ and that $\frac{AO}{OA'}+\frac{BO}{OB'}+\frac{CO}{OC'}=92,$ find $\frac{AO}{OA'}\cdot\frac{BO}{OB'}\cdot\frac{CO}{OC'}.$

答案

答案：94

知识点：质点法比与比例代数变形

难度评级：2350

小提示：

设 $(\alpha,\beta,\gamma)$ 为点 $O$ 的归一化重心坐标

Let $(\alpha,\beta,\gamma)$ be normalized barycentric coordinates of $O$

大提示：

将三个比值写成 $\frac{1-\alpha}{\alpha}$ 、 $\frac{1-\beta}{\beta}$ 和 $\frac{1-\gamma}{\gamma}$

Write the three ratios as $\frac{1-\alpha}{\alpha}$ , $\frac{1-\beta}{\beta}$ , and $\frac{1-\gamma}{\gamma}$

解答：

设 $\alpha+\beta+\gamma=1$ 为点 $O$ 的重心坐标。于是 $\begin{aligned}x=\frac{AO}{OA'}&=\frac{\beta+\gamma}{\alpha},\\y=\frac{BO}{OB'}&=\frac{\gamma+\alpha}{\beta},\\z=\frac{CO}{OC'}&=\frac{\alpha+\beta}{\gamma}\end{aligned}\text{。}$ 利用 $\alpha+\beta+\gamma=1$ 展开两边，可得恒等式 $xyz=x+y+z+2\text{。}$ 因为 $x+y+z=92$ ，所求乘积为 $94$ 。

Let $\alpha+\beta+\gamma=1$ be the barycentric coordinates of $O.$ Then $\begin{aligned}x=\frac{AO}{OA'}&=\frac{\beta+\gamma}{\alpha},\\y=\frac{BO}{OB'}&=\frac{\gamma+\alpha}{\beta},\\z=\frac{CO}{OC'}&=\frac{\alpha+\beta}{\gamma}.\end{aligned}$ Expanding both sides using $\alpha+\beta+\gamma=1$ gives the standard identity $xyz=x+y+z+2.$ Since $x+y+z=92,$ the requested product is $94.$

1992 AIME 第 14 题

答案：94

难度评级：2350

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题