Question

点 $P$ 位于三角形 $ABC$ 内部，使得角 $PAB$ 、 $PBC$ 和 $PCA$ 全都相等。三角形三边长为 $AB = 13$ 、 $BC = 14$ 和 $CA = 15$ ，且角 $PAB$ 的正切为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

Point $P$ is located inside triangle $ABC$ so that angles $PAB,$ $PBC,$ and $PCA$ are all congruent. The sides of the triangle have lengths $AB = 13,$ $BC = 14,$ and $CA = 15,$ and the tangent of angle $PAB$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：463

知识点：正弦定理三角恒等式三角形面积

难度评级：2990

小提示：

设公共角为 $\omega$ ，并用正弦定理分别计算 $BP$ ：一次在三角形 $ABP$ 中，一次在三角形 $BCP$ 中

Call the common angle $\omega$ and compute $BP$ two ways, from triangles $ABP$ and $BCP,$ with the law of sines

大提示：

比较后会化简为 $\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C$ ，而每个余切都可用边长和面积表示

The comparison simplifies to $\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C,$ and each cotangent can be written in terms of the side lengths and the area

解答：

令 $\omega = \angle PAB = \angle PBC = \angle PCA$ 。在三角形 $ABP$ 中， $A$ 和 $B$ 处的角分别为 $\omega$ 和 $B - \omega$ ，所以 $\angle APB = 180^\circ - B$ ，由正弦定理得 $BP = \frac{c \sin\omega}{\sin B}$ 。在三角形 $BCP$ 中， $B$ 和 $C$ 处的角分别为 $\omega$ 和 $C - \omega$ ，所以 $\angle BPC = 180^\circ - C$ ，且 $BP = \frac{a \sin(C - \omega)}{\sin C}$ 。

两式相等并代入 $a = 2R\sin A$ 、 $c = 2R\sin C$ ，得 $\sin^2 C \sin\omega$ $= \sin A \sin B \sin(C - \omega)$ 。展开 $\sin(C - \omega)$ ，再除以 $\sin A \sin B \sin C \sin\omega$ ，得到 $\frac{\sin C}{\sin A \sin B} = \cot\omega - \cot C\text{。}$ 又因为 $\sin C$ $= \sin(A + B)$ $= \sin A \cos B$ $+ \cos A \sin B$ ，左边等于 $\cot A + \cot B$ 。因此 $\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C$ 。

使用 $\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4K}$ 及其类似公式，其中 $K$ 是面积。 $13$ - $14$ - $15$ 三角形的面积为 $84$ ，所以 $\begin{aligned} \cot\omega &= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4K} \\ &= \frac{169 + 196 + 225}{4 \cdot 84} \\ &= \frac{590}{336} \\ &= \frac{295}{168} \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\tan\omega = \frac{168}{295}$ ，这是最简分数，且 $m + n = 168 + 295 = 463$ 。

Let $\omega = \angle PAB = \angle PBC = \angle PCA.$ In triangle $ABP,$ the angles at $A$ and $B$ are $\omega$ and $B - \omega,$ so $\angle APB = 180^\circ - B$ and the law of sines gives $BP = \frac{c \sin\omega}{\sin B}.$ In triangle $BCP,$ the angles at $B$ and $C$ are $\omega$ and $C - \omega,$ so $\angle BPC = 180^\circ - C$ and $BP = \frac{a \sin(C - \omega)}{\sin C}.$

Equating and substituting $a = 2R\sin A,$ $c = 2R\sin C$ yields $\sin^2 C \sin\omega$ $= \sin A \sin B \sin(C - \omega).$ Expanding $\sin(C - \omega)$ and dividing by $\sin A \sin B \sin C \sin\omega,$ $\frac{\sin C}{\sin A \sin B} = \cot\omega - \cot C,$ and since $\sin C$ $= \sin(A + B)$ $= \sin A \cos B$ $+ \cos A \sin B,$ the left side is $\cot A + \cot B.$ Hence $\cot\omega = \cot A + \cot B + \cot C.$

Using $\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4K}$ and its analogues, where $K$ is the area, $\begin{aligned} \cot\omega &= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4K} \\ &= \frac{169 + 196 + 225}{4 \cdot 84} \\ &= \frac{590}{336} \\ &= \frac{295}{168}, \end{aligned}$ since the $13$ - $14$ - $15$ triangle has area $84.$ So $\tan\omega = \frac{168}{295},$ which is in lowest terms, and $m + n = 168 + 295 = 463.$

1999 AIME 第 14 题

答案：463

难度评级：2990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题