Question

给定正整数 $n$ ，可以证明，每个形如 $r+si$ 的复数（其中 $r$ 和 $s$ 为整数）都能以 $-n+i$ 为底，并用整数 $0$ 、 $1$ 、 $\ldots$ 、 $n^2$ 作为数字，唯一地表示出来。也就是说，方程

$\begin{aligned}r+si={}&a_m(-n+i)^m\\&+a_{m-1}(-n+i)^{m-1}\\&+\cdots+a_1(-n+i)\\&+a_0\end{aligned}$

对唯一选定的非负整数 $m$ 以及从集合 $\{0,1,2,\ldots,n^2\}$ 中选出的数字 $a_0$ 、 $a_1$ 、 $\ldots$ 、 $a_m$ 成立，其中 $a_m\ne0$ 。我们记

$r+si=(a_ma_{m-1}\ldots a_1a_0)_{-n+i}$

表示 $r+si$ 以 $-n+i$ 为底的展开。只有有限多个整数 $k+0i$ 具有四位展开

$k=(a_3a_2a_1a_0)_{-3+i}\qquad a_3\ne0\text{。}$

求所有这些 $k$ 的和。

Given a positive integer $n,$ it can be shown that every complex number of the form $r+si,$ where $r$ and $s$ are integers, can be uniquely expressed in the base $-n+i$ using the integers $0,$ $1,$ $\ldots,$ $n^2$ as digits. That is, the equation

$\begin{aligned}r+si={}&a_m(-n+i)^m\\&+a_{m-1}(-n+i)^{m-1}\\&+\cdots+a_1(-n+i)\\&+a_0\end{aligned}$

is true for a unique choice of nonnegative integer $m$ and digits $a_0,$ $a_1,$ $\ldots,$ $a_m$ chosen from the set $\{0,1,2,\ldots,n^2\},$ with $a_m\ne0.$ We write

$r+si=(a_ma_{m-1}\ldots a_1a_0)_{-n+i}$

to denote the base $-n+i$ expansion of $r+si.$ There are only finitely many integers $k+0i$ that have four-digit expansions

$k=(a_3a_2a_1a_0)_{-3+i}\qquad a_3\ne0.$

Find the sum of all such $k.$

答案

答案：490

知识点：复数进制方程组

难度评级：2840

小提示：

计算 $-3+i$ 的二次方和三次方，并令展开式的虚部等于零

Compute the second and third powers of $-3+i$ and set the imaginary part of the expansion equal to zero

大提示：

数字的取值范围只留下两个可能的三元组 $(a_3,a_2,a_1)$ ；再让 $a_0$ 遍历所有数字

The digit bounds leave only two possible triples $(a_3,a_2,a_1)$ ; then let $a_0$ range over all digits

解答：

令 $b=-3+i$ 。则 $b^2=8-6i$ ，且 $b^3=-18+26i$ 。

$a_3b^3+a_2b^2+a_1b+a_0$ 的虚部为 $26a_3-6a_2+a_1\text{。}$ 因此 $a_1=6a_2-26a_3$ 。由 $1\leq a_3\leq9$ 和 $0\leq a_1,a_2\leq9$ ，只有以下两种可能： $\begin{gathered}(a_3,a_2,a_1)=(1,5,4),\\(a_3,a_2,a_1)=(2,9,2)\end{gathered}\text{。}$

相应的实部分别为 $10+a_0$ 和 $30+a_0$ 。当 $a_0$ 从 $0$ 取到 $9$ 时，所求之和为 $\begin{aligned}&(10+11+\cdots+19)\\&\quad+(30+31+\cdots+39)\\&=145+345=490\end{aligned}\text{。}$

Let $b=-3+i.$ Then $b^2=8-6i$ and $b^3=-18+26i.$

The imaginary part of $a_3b^3+a_2b^2+a_1b+a_0$ is $26a_3-6a_2+a_1.$ Thus $a_1=6a_2-26a_3.$ With $1\leq a_3\leq9$ and $0\leq a_1,a_2\leq9,$ the only possibilities are $\begin{gathered}(a_3,a_2,a_1)=(1,5,4),\\(a_3,a_2,a_1)=(2,9,2).\end{gathered}$

The corresponding real parts are $10+a_0$ and $30+a_0,$ respectively. As $a_0$ ranges from $0$ through $9,$ the required sum is $\begin{aligned}&(10+11+\cdots+19)\\&\quad+(30+31+\cdots+39)\\&=145+345=490.\end{aligned}$

1989 AIME 第 14 题

答案：490

难度评级：2840

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题