Question

给定 $\triangle ABC$ 以及其一条边上的点 $P$ 。若直线 $\ell$ 经过 $P$ ，并把 $\triangle ABC$ 分成两个周长相等的多边形，则称 $\ell$ 为 $\triangle ABC$ 经过 $P$ 的 分割线。设 $\triangle ABC$ 是一个三角形，其中 $BC = 219$ ，且 $AB$ 和 $AC$ 都是正整数。令 $M$ 和 $N$ 分别为 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 的中点，并且 $\triangle ABC$ 经过 $M$ 和 $N$ 的两条分割线相交成 $30^\circ$ 。求 $\triangle ABC$ 的周长。

Given $\triangle ABC$ and a point $P$ on one of its sides, call line $\ell$ the splitting line of $\triangle ABC$ through $P$ if $\ell$ passes through $P$ and divides $\triangle ABC$ into two polygons of equal perimeter. Let $\triangle ABC$ be a triangle where $BC = 219$ and $AB$ and $AC$ are positive integers. Let $M$ and $N$ be the midpoints of $\overline{AB}$ and $\overline{AC},$ respectively, and suppose that the splitting lines of $\triangle ABC$ through $M$ and $N$ intersect at $30^\circ.$ Find the perimeter of $\triangle ABC.$

答案

答案：459

知识点：角平分线余弦定理丢番图方程

难度评级：3500

小提示：

证明经过 $M$ 的分割线平行于从 $C$ 出发的角平分线：它与 $\overline{BC}$ 交于 $X$ ，且 $BX = s - \frac{c}{2}$ ，并有 $\angle BXM = \frac{C}{2}$

Show the splitting line through $M$ is parallel to the angle bisector from $C:$ it meets $\overline{BC}$ at $X$ with $BX = s - \frac{c}{2},$ and $\angle BXM = \frac{C}{2}$

大提示：

从 $B$ 和 $C$ 出发的角平分线相交成 $90^\circ + \frac{A}{2}$ ，所以 $30^\circ$ 条件迫使 $\angle A = 120^\circ$ ；接着使 $4 \cdot 219^2 - 3(b+c)^2$ 成为完全平方数

The bisectors from $B$ and $C$ cross at $90^\circ + \frac{A}{2},$ so the $30^\circ$ condition forces $\angle A = 120^\circ;$ then make $4 \cdot 219^2 - 3(b+c)^2$ a perfect square

解答：

记 $a = BC = 219$ 、 $b = CA$ 、 $c = AB$ ，并令 $s$ 为半周长。经过 $M$ 的分割线与 $\overline{BC}$ 交于点 $X$ 。令两部分的周长相等，并消去两边共有的线段 $\overline{MX}$ ，得到 $\frac{c}{2}+BX=\frac{c}{2}+b+(a-BX)\text{，}$ 所以 $BX=\frac{a+b}{2}=s-\frac{c}{2}$ 。在三角形 $BMX$ 中，正弦定理说明 $\angle BXM = \frac{C}{2}$ ：这需要 $c \sin\left(B + \frac{C}{2}\right) = (a + b)\sin\frac{C}{2}$ ，而它可由 $a + b = 2R(\sin A + \sin B)$ $= 4R\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A - B}{2}$ 以及 $c = 4R \sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$ 化简为 $\sin\left(B + \frac{C}{2}\right) = \cos\frac{A - B}{2}$ 。这个等式成立，因为这两个角互余。因此经过 $M$ 的分割线平行于从 $C$ 出发的角平分线；类似地，经过 $N$ 的分割线平行于从 $B$ 出发的角平分线。

从 $B$ 和 $C$ 出发的内角平分线相交成 $90^\circ + \frac{A}{2} \gt 90^\circ$ ，所以两条分割线的锐角夹角为 $90^\circ - \frac{A}{2} = 30^\circ$ ，从而 $\angle A = 120^\circ$ 。由余弦定理， $\begin{aligned} 219^2 &= b^2 + c^2 + bc \\ &= (b + c)^2 - bc \end{aligned}\text{。}$ 设 $p = b + c$ ，则 $bc = p^2 - 219^2$ ，且 $b$ 、 $c$ 是 $t^2 - pt + (p^2 - 219^2)$ 的根，因此要求 $4 \cdot 219^2 - 3p^2$ 是完全平方数 $k^2$ 。于是 $3$ 整除 $k$ 且 $3$ 整除 $p$ ；写 $p = 3r$ 、 $k = 3m$ ，条件变为 $m^2 + 3r^2 = 146^2$ 。三角形不等式 $p \gt 219$ 与 $4 \cdot 219^2 \ge 3p^2$ 将范围限制为 $74 \le r \le 84$ ，检查后只有 $r = 80$ 可行，此时 $m = 46$ 。

所以 $b + c = 240$ ，且 $bc = 240^2 - 47961 = 9639$ ，给出 $\{b, c\} = \{51, 189\}$ ，这是一个有效三角形。周长为 $219 + 240 = 459$ 。

Write $a = BC = 219,$ $b = CA,$ $c = AB,$ and $s$ for the semiperimeter. The splitting line through $M$ meets $\overline{BC}$ at the point $X.$ Equating the two piece perimeters and cancelling their common segment $\overline{MX}$ gives $\frac{c}{2}+BX=\frac{c}{2}+b+(a-BX),$ so $BX=\frac{a+b}{2}=s-\frac{c}{2}.$ In triangle $BMX,$ the law of sines shows $\angle BXM = \frac{C}{2}:$ this needs $c \sin\left(B + \frac{C}{2}\right) = (a + b)\sin\frac{C}{2},$ which reduces via $a + b = 2R(\sin A + \sin B)$ $= 4R\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A - B}{2}$ and $c = 4R \sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$ to $\sin\left(B + \frac{C}{2}\right) = \cos\frac{A - B}{2},$ true because those angles are complementary. Hence the splitting line through $M$ is parallel to the angle bisector from $C,$ and likewise the one through $N$ is parallel to the bisector from $B.$

The internal bisectors from $B$ and $C$ meet at $90^\circ + \frac{A}{2} \gt 90^\circ,$ so the acute angle between the two splitting lines is $90^\circ - \frac{A}{2} = 30^\circ,$ forcing $\angle A = 120^\circ.$ The law of cosines gives $\begin{aligned} 219^2 &= b^2 + c^2 + bc \\ &= (b + c)^2 - bc. \end{aligned}$ Set $p = b + c,$ so $bc = p^2 - 219^2$ and $b$ and $c$ are roots of $t^2 - pt + (p^2 - 219^2),$ requiring $4 \cdot 219^2 - 3p^2$ to be a perfect square $k^2.$ Then $3$ divides $k$ and $3$ divides $p;$ writing $p = 3r$ and $k = 3m$ turns the condition into $m^2 + 3r^2 = 146^2.$ The triangle inequality $p \gt 219$ and $4 \cdot 219^2 \ge 3p^2$ restrict $74 \le r \le 84,$ and checking these, only $r = 80$ works, with $m = 46.$

So $b + c = 240$ and $bc = 240^2 - 47961 = 9639,$ giving $\{b, c\} = \{51, 189\}$ — a valid triangle. The perimeter is $219 + 240 = 459.$

2022 AIME I 第 14 题

答案：459

难度评级：3500

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