Question

在三角形 $ABC$ 中， $AB = 13$ 、 $BC = 15$ 、 $CA = 14$ 。点 $D$ 在 $\overline{BC}$ 上，且 $CD = 6$ 。点 $E$ 在 $\overline{BC}$ 上，使得 $\angle BAE \cong \angle CAD$ 。已知 $BE = \frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质正整数，求 $q$ 。

In triangle $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 15,$ and $CA = 14.$ Point $D$ is on $\overline{BC}$ with $CD = 6.$ Point $E$ is on $\overline{BC}$ such that $\angle BAE \cong \angle CAD.$ Given that $BE = \frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers, find $q.$

答案

答案：463

知识点：面积比三角学比与比例

难度评级：3060

小提示：

比较 $\frac{BD}{DC}$ 与 $\frac{BE}{EC}$ ：用 $\frac{1}{2}xy\sin\theta$ 计算以 $A$ 为顶点的三角形面积，并把每个比值写成面积之比。

Compare $\frac{BD}{DC}$ and $\frac{BE}{EC}$ by writing each as a ratio of triangle areas $\frac{1}{2}xy\sin\theta$ at vertex $A$

大提示：

相等的角会配对：两个比值相乘得到 $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}$ 。

The equal angles pair up: multiplying the two ratios gives $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}$

解答：

线段 $AD$ 将对边分成的比满足 $\begin{aligned} \frac{BD}{DC} &= \frac{[ABD]}{[ACD]} \\ &= \small \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AD \sin\angle BAD}{\frac{1}{2} AC \cdot AD \sin\angle CAD} \\ &= \frac{AB \sin\angle BAD}{AC \sin\angle CAD} \end{aligned}\text{，}$ 同理， $\frac{BE}{EC} = \frac{AB \sin\angle BAE}{AC \sin\angle CAE}$ 。

因为 $\angle BAE = \angle CAD$ ，也有 $\angle BAD = \angle CAE$ （二者都是这个公共角加上 $\angle EAD$ ），所以两个比值相乘时所有正弦都约去： $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}$ 。代入 $BD = 9$ 、 $DC = 6$ 、 $AB = 13$ 和 $AC = 14$ ，得 $\frac{BE}{EC} = \frac{13^2}{14^2} \cdot \frac{6}{9} = \frac{169}{294}\text{。}$

因而 $BE = 15 \cdot \frac{169}{169 + 294} = \frac{2535}{463}$ 。由于 $463$ 是质数，且不整除 $2535 = 3 \cdot 5 \cdot 13^2$ ，该分数已最简，所以 $q = 463$ 。

A cevian $AD$ splits the opposite side in the ratio $\begin{aligned} \frac{BD}{DC} &= \frac{[ABD]}{[ACD]} \\ &= \small \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AD \sin\angle BAD}{\frac{1}{2} AC \cdot AD \sin\angle CAD} \\ &= \frac{AB \sin\angle BAD}{AC \sin\angle CAD}, \end{aligned}$ and similarly $\frac{BE}{EC} = \frac{AB \sin\angle BAE}{AC \sin\angle CAE}.$

Since $\angle BAE = \angle CAD,$ we also have $\angle BAD = \angle CAE$ (each is that common angle plus $\angle EAD$ ), so multiplying the two ratios cancels all the sines: $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}.$ With $BD = 9,$ $DC = 6,$ $AB = 13,$ and $AC = 14,$ this gives $\frac{BE}{EC} = \frac{13^2}{14^2} \cdot \frac{6}{9} = \frac{169}{294}.$

Hence $BE = 15 \cdot \frac{169}{169 + 294} = \frac{2535}{463}.$ Since $463$ is prime and does not divide $2535 = 3 \cdot 5 \cdot 13^2,$ the fraction is in lowest terms, and $q = 463.$

2005 AIME II 第 14 题

答案：463

难度评级：3060

小提示：

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解答：

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