Question

设 $P(x)$ 是一个整系数多项式，满足 $P(17) = 10$ 且 $P(24) = 17$ 。已知方程 $P(n) = n + 3$ 有两个不同的整数解 $n_1$ 和 $n_2$ ，求乘积 $n_1 \cdot n_2$ 。

Let $P(x)$ be a polynomial with integer coefficients that satisfies $P(17) = 10$ and $P(24) = 17.$ Given that the equation $P(n) = n + 3$ has two distinct integer solutions $n_1$ and $n_2,$ find the product $n_1 \cdot n_2.$

答案

答案：418

知识点：多项式整除性因数

难度评级：2760

小提示：

考虑 $S(x) = P(x) - x - 3$ ，它在 $x = 17$ 和 $x = 24$ 处都等于 $-10$ 。

Consider $S(x) = P(x) - x - 3,$ which equals $-10$ at both $x = 17$ and $x = 24$

大提示：

若 $S(n) = 0$ ，则 $(n-17)(n-24)$ 整除 $10$ ；这两个因子都是整数且相差 $7$ 。

If $S(n) = 0,$ then $(n-17)(n-24)$ divides $10;$ those two factors are integers differing by $7$

解答：

令 $S(x) = P(x) - x - 3$ ，则 $S(17) = S(24) = -10$ 。由于 $S(x) + 10$ 有整数系数并在 $17$ 和 $24$ 处为零， $\begin{aligned} S(x) &= -10 \\ &\quad {}+ (x - 17)(x - 24)Q(x) \end{aligned}$ 其中 $Q$ 是某个整系数多项式。

若某个整数 $n$ 满足 $P(n) = n + 3$ ，则 $(n-17)(n-24)Q(n) = 10$ ，所以 $(n-17)(n-24)$ 整除 $10$ 。因子 $n - 17$ 和 $n - 24$ 是相差 $7$ 的整数，其乘积整除 $10$ ，所以它们为 $\{2, -5\}$ 或 $\{5, -2\}$ ，得到 $n = 19$ 和 $n = 22$ 。这两个值确实能同时成为解，例如取 $P(x) = x - 7$ $- (x-17)(x-24)$ 。

因此 $n_1 \cdot n_2 = 19 \cdot 22 = 418$ 。

Let $S(x) = P(x) - x - 3,$ so $S(17) = S(24) = -10.$ Since $S(x) + 10$ has integer coefficients and vanishes at $17$ and $24,$ $\begin{aligned} S(x) &= -10 \\ &\quad {}+ (x - 17)(x - 24)Q(x) \end{aligned}$ for some polynomial $Q$ with integer coefficients.

If $P(n) = n + 3$ for an integer $n,$ then $(n-17)(n-24)Q(n) = 10,$ so $(n-17)(n-24)$ divides $10.$ The factors $n - 17$ and $n - 24$ are integers differing by $7$ whose product divides $10,$ so they are $\{2, -5\}$ or $\{5, -2\},$ giving $n = 19$ and $n = 22.$ Both occur, for example, for $P(x) = x - 7$ $- (x-17)(x-24).$

Hence $n_1 \cdot n_2 = 19 \cdot 22 = 418.$

2005 AIME II 第 13 题

答案：418

难度评级：2760

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