Question

设 $\omega \neq 1$ 是一个 $13$ 次单位根。求 $\prod_{k=0}^{12} \left(2 - 2\omega^k + \omega^{2k}\right)$ 除以 $1000$ 的余数。

Let $\omega \neq 1$ be a $13$ th root of unity. Find the remainder when $\prod_{k=0}^{12} \left(2 - 2\omega^k + \omega^{2k}\right)$ is divided by $1000.$

答案

答案：321

知识点：单位根复数多项式

难度评级：3060

小提示：

分解 $2 - 2x + x^2$ $= (x - (1+\mathrm{i}))(x - (1-\mathrm{i}))$ ，并对全部 $13$ 次单位根使用 $\prod_k (x - \omega^k) = x^{13} - 1$

Factor $2 - 2x + x^2$ $= (x - (1+\mathrm{i}))(x - (1-\mathrm{i})),$ and use $\prod_k (x - \omega^k) = x^{13} - 1$ over all $13$ th roots of unity

大提示：

$(1+\mathrm{i})^2 = 2\mathrm{i}$ 使 $(1+\mathrm{i})^{13}$ 容易计算；整个乘积变为 $\left(1 - (1+\mathrm{i})^{13}\right)\left(1 - (1-\mathrm{i})^{13}\right)$

$(1+\mathrm{i})^2 = 2\mathrm{i}$ makes $(1+\mathrm{i})^{13}$ easy to compute; the whole product becomes $\left(1 - (1+\mathrm{i})^{13}\right)\left(1 - (1-\mathrm{i})^{13}\right)$

解答：

因为 $2 - 2x + x^2 = (x - 1)^2 + 1$ $= (x - (1+\mathrm{i}))(x - (1-\mathrm{i}))$ ，乘积中的每个因式都可分解；当 $k$ 从 $0$ 变化到 $12$ 时， $\omega^k$ 遍历所有 $13$ 次单位根。由于 $\prod_k (x - \omega^k) = x^{13} - 1$ ，对任意 $\alpha$ 有 $\prod_k (\omega^k - \alpha) = (-1)^{13}(\alpha^{13} - 1)$ $= 1 - \alpha^{13}$ 。因此该乘积等于 $\left(1 - (1+\mathrm{i})^{13}\right)\left(1 - (1-\mathrm{i})^{13}\right)\text{。}$

因为 $(1+\mathrm{i})^2 = 2\mathrm{i}$ ，所以 $(1+\mathrm{i})^{13} = (1+\mathrm{i})(2\mathrm{i})^6$ $= -64(1 + \mathrm{i}) = -64 - 64\mathrm{i}$ ，由共轭可得 $(1-\mathrm{i})^{13} = -64 + 64\mathrm{i}$ 。所以乘积为 $\begin{gathered} (65 + 64\mathrm{i})(65 - 64\mathrm{i}) \\ = 65^2 + 64^2 = 4225 + 4096 \\ = 8321 \end{gathered}\text{，}$ 除以 $1000$ 的余数为 $321$ 。

Since $2 - 2x + x^2 = (x - 1)^2 + 1$ $= (x - (1+\mathrm{i}))(x - (1-\mathrm{i})),$ each factor of the product splits, and as $k$ runs from $0$ to $12,$ $\omega^k$ runs over all $13$ th roots of unity. Because $\prod_k (x - \omega^k) = x^{13} - 1,$ for any $\alpha$ we get $\prod_k (\omega^k - \alpha) = (-1)^{13}(\alpha^{13} - 1)$ $= 1 - \alpha^{13}.$ Hence the product equals $\left(1 - (1+\mathrm{i})^{13}\right)\left(1 - (1-\mathrm{i})^{13}\right).$

Since $(1+\mathrm{i})^2 = 2\mathrm{i},$ we get $(1+\mathrm{i})^{13} = (1+\mathrm{i})(2\mathrm{i})^6$ $= -64(1 + \mathrm{i}) = -64 - 64\mathrm{i},$ and by conjugation $(1-\mathrm{i})^{13} = -64 + 64\mathrm{i}.$ So the product is $\begin{gathered} (65 + 64\mathrm{i})(65 - 64\mathrm{i}) \\ = 65^2 + 64^2 = 4225 + 4096 \\ = 8321, \end{gathered}$ whose remainder upon division by $1000$ is $321.$

2024 AIME II 第 13 题

答案：321

难度评级：3060

小提示：

大提示：

解答：

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