Question

设 $\triangle ABC$ 的边长为 $AB = 30$ 、 $BC = 32$ 、 $AC = 34$ 。点 $X$ 位于 $\overline{BC}$ 的内部，点 $I_1$ 和 $I_2$ 分别为 $\triangle ABX$ 与 $\triangle ACX$ 的内心。当 $X$ 沿 $\overline{BC}$ 变化时，求 $\triangle AI_1I_2$ 的最小可能面积。

Let $\triangle ABC$ have side lengths $AB = 30,$ $BC = 32,$ and $AC = 34.$ Point $X$ lies in the interior of $\overline{BC},$ and points $I_1$ and $I_2$ are the incenters of $\triangle ABX$ and $\triangle ACX,$ respectively. Find the minimum possible area of $\triangle AI_1I_2$ as $X$ varies along $\overline{BC}.$

答案

答案：126

知识点：内切圆、内心与内切圆半径正弦定理三角恒等式最优化

难度评级：3270

小提示：

对每个 $X$ 的位置，都有 $\angle I_1AI_2 = \frac{A}{2}$ ，所以只需最小化 $AI_1 \cdot AI_2$

$\angle I_1AI_2 = \frac{A}{2}$ for every position of $X,$ so it suffices to minimize $AI_1 \cdot AI_2$

大提示：

利用 $\angle AI_1B = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle AXB$ 和正弦定理，面积与 $\frac{1}{\sin \angle AXB}$ 成正比；当 $\angle AXB = 90^\circ$ 时最小

Using $\angle AI_1B = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle AXB$ and the law of sines, the area is proportional to $\frac{1}{\sin \angle AXB},$ minimized when $\angle AXB = 90^\circ$

解答：

由于 $AI_1$ 与 $AI_2$ 分别平分角 $BAX$ 与 $XAC$ ， $\angle I_1AI_2 = \frac{1}{2}\angle BAX$ $+ \frac{1}{2}\angle XAC = \frac{A}{2}$ 为常数。设 $\alpha = \angle AXB$ 。内心角公式给出 $\angle AI_1B = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$ ，所以在 $\triangle ABI_1$ 中由正弦定理得 $AI_1 = \frac{AB \sin\frac{B}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}$ 。同理，由于 $\angle AXC = 180^\circ - \alpha$ ，有 $AI_2 = \frac{AC \sin\frac{C}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}$ 。

因此 $\begin{aligned} &[\triangle AI_1I_2] = \frac{1}{2}\,AI_1 \cdot AI_2 \sin\frac{A}{2} \\ &= \frac{AB \cdot AC \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}{\sin\alpha} \end{aligned}\text{，}$ 这在 $\alpha = 90^\circ$ 时最小，也就是 $X$ 为从 $A$ 到对边的垂足时。

令 $a = 32$ 、 $b = 34$ 、 $c = 30$ ，半周长 $s = 48$ ，半角公式给出 $\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$ $= \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}$ ，所以最小面积为 $\begin{aligned} &bc \cdot \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc} \\ &= \frac{16 \cdot 14 \cdot 18}{32} = 126 \end{aligned}\text{。}$

Since $AI_1$ and $AI_2$ bisect angles $BAX$ and $XAC,$ $\angle I_1AI_2 = \frac{1}{2}\angle BAX$ $+ \frac{1}{2}\angle XAC = \frac{A}{2},$ a constant. Let $\alpha = \angle AXB.$ The incenter angle formula gives $\angle AI_1B = 90^\circ + \frac{\alpha}{2},$ so the law of sines in $\triangle ABI_1$ yields $AI_1 = \frac{AB \sin\frac{B}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}},$ and similarly, since $\angle AXC = 180^\circ - \alpha,$ $AI_2 = \frac{AC \sin\frac{C}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}.$

Therefore $\begin{aligned} &[\triangle AI_1I_2] = \frac{1}{2}\,AI_1 \cdot AI_2 \sin\frac{A}{2} \\ &= \frac{AB \cdot AC \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}{\sin\alpha}, \end{aligned}$ which is minimized when $\alpha = 90^\circ,$ that is, when $X$ is the foot of the altitude from $A.$

With $a = 32,$ $b = 34,$ $c = 30,$ and $s = 48,$ the half-angle formulas give $\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$ $= \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc},$ so the minimum area is $\begin{aligned} &bc \cdot \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc} \\ &= \frac{16 \cdot 14 \cdot 18}{32} = 126. \end{aligned}$

2018 AIME I 第 13 题

答案：126

难度评级：3270

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