Question

存在一个整系数多项式 $P(x)$ ，满足 $\begin{aligned} P(x) &= (x^{2310}-1)^6 \\ &\quad {}\cdot \frac{1}{(x^{105}-1)(x^{70}-1)} \\ &\quad {}\cdot \frac{1}{(x^{42}-1)(x^{30}-1)} \end{aligned}$ 对每个 $0 \lt x \lt 1$ 都成立。求 $P(x)$ 中 $x^{2022}$ 的系数。

There is a polynomial $P(x)$ with integer coefficients such that $\begin{aligned} P(x) &= (x^{2310}-1)^6 \\ &\quad {}\cdot \frac{1}{(x^{105}-1)(x^{70}-1)} \\ &\quad {}\cdot \frac{1}{(x^{42}-1)(x^{30}-1)} \end{aligned}$ holds for every $0 \lt x \lt 1.$ Find the coefficient of $x^{2022}$ in $P(x).$

答案

答案：220

知识点：生成函数丢番图方程隔板法

难度评级：3270

小提示：

写成 $P(x) = (1 - x^{2310})^6 \prod \frac{1}{1 - x^k}$ ，其中 $k = 105, 70, 42, 30$ ；由于 $2022 \lt 2310$ ，分子只贡献常数项

Write $P(x) = (1 - x^{2310})^6 \prod \frac{1}{1 - x^k}$ for $k = 105, 70, 42, 30;$ since $2022 \lt 2310,$ the numerator contributes only its constant term

大提示：

通过分别模 $2, 3, 5, 7$ 来固定 $a, b, c, d$ 关于 $2, 3, 5, 7$ 的余数，从而计数 $105a + 70b + 42c + 30d = 2022$ 的解

Count solutions of $105a + 70b + 42c + 30d = 2022$ by reducing modulo $2, 3, 5, 7$ to pin down $a, b, c, d$ modulo $2, 3, 5, 7$

解答：

对 $0 \lt x \lt 1$ ， $\begin{aligned} P(x) &= (1-x^{2310})^6 \\ &\quad {}\cdot \frac{1}{(1-x^{105})(1-x^{70})} \\ &\quad {}\cdot \frac{1}{(1-x^{42})(1-x^{30})} \end{aligned}$ 且每个因子 $\frac{1}{1 - x^k}$ 都可展开为等比级数。由于 $2022 \lt 2310$ ，因子 $(1 - x^{2310})^6$ 只贡献常数项 $1$ ，所以 $x^{2022}$ 的系数等于非负整数解 $105a + 70b + 42c + 30d = 2022$ 的个数。

模 $2$ 化简给出 $105a \equiv 2022$ ，所以 $a$ 为偶数；模 $3$ 化简给出 $70b \equiv 2022 \equiv 0$ ，所以 $3$ 整除 $b$ ；模 $5$ 化简给出 $2c \equiv 2022 \equiv 2$ ，所以 $c \equiv 1 \pmod 5$ ；模 $7$ 化简给出 $2d \equiv 2022 \equiv 6$ ，所以 $d \equiv 3 \pmod 7$ 。令 $a = 2a'$ 、 $b = 3b'$ 、 $c = 5c' + 1$ 、 $d = 7d' + 3$ ，原方程变为 $\begin{aligned} &210(a' + b' + c' + d') + 42 \\ &\quad {}+ 90 = 2022 \end{aligned}$ 所以 $a' + b' + c' + d' = 9\text{。}$

由隔板法共有 $\binom{12}{3} = 220$ 个解，因此该系数为 $220$ 。

For $0 \lt x \lt 1,$ $\begin{aligned} P(x) &= (1-x^{2310})^6 \\ &\quad {}\cdot \frac{1}{(1-x^{105})(1-x^{70})} \\ &\quad {}\cdot \frac{1}{(1-x^{42})(1-x^{30})}, \end{aligned}$ and each factor $\frac{1}{1 - x^k}$ expands as a geometric series. Since $2022 \lt 2310,$ the factor $(1 - x^{2310})^6$ contributes only its constant term $1,$ so the coefficient of $x^{2022}$ is the number of nonnegative integer solutions of $105a + 70b + 42c + 30d = 2022.$

Reducing modulo $2$ gives $105a \equiv 2022,$ so $a$ is even; modulo $3$ gives $70b \equiv 2022 \equiv 0,$ so $3$ divides $b;$ modulo $5$ gives $2c \equiv 2022 \equiv 2,$ so $c \equiv 1 \pmod 5;$ modulo $7$ gives $2d \equiv 2022 \equiv 6,$ so $d \equiv 3 \pmod 7.$ Writing $a = 2a',$ $b = 3b',$ $c = 5c' + 1,$ $d = 7d' + 3$ turns the equation into $\begin{aligned} &210(a' + b' + c' + d') + 42 \\ &\quad {}+ 90 = 2022, \end{aligned}$ so $a' + b' + c' + d' = 9.$

By stars and bars there are $\binom{12}{3} = 220$ solutions, so the coefficient is $220.$

2022 AIME II 第 13 题

答案：220

难度评级：3270

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其他年份的第 13 题