Question

设 $T$ 是由幂 $9^k$ 组成的集合，其中 $k$ 是满足 $0\leq k\leq4000$ 的整数。已知 $9^{4000}$ 有 $3817$ 位，且首位（最左边的一位）是 $9$ 。 $T$ 中有多少个元素的首位是 $9$ ？

Let $T$ be the set of powers $9^k,$ where $k$ is an integer with $0\leq k\leq4000.$ Given that $9^{4000}$ has $3817$ digits and that its first (leftmost) digit is $9,$ how many elements of $T$ have $9$ as their leftmost digit?

答案

答案：184

知识点：数字指数不变量

难度评级：2230

小提示：

比较 $9^k$ 与 $9^{k-1}$ 的位数

Compare the number of digits of $9^k$ with that of $9^{k-1}$

大提示：

乘以 $9$ 后，恰好在位数不增加时，结果的首位为 $9$

A multiplication by $9$ produces a leading $9$ exactly when the digit count does not increase

解答：

当 $k\geq1$ 时， $9^k$ 的首位是 $9$ ，当且仅当它与 $9^{k-1}$ 的位数相同。事实上，若 $9^{k-1}$ 有 $d$ 位，乘以 $9$ 后位数不增加，则 $9^k\geq9\cdot10^{d-1}$ ，所以它的首位是 $9$ 。若位数增加，则 $9^k\lt9\cdot10^d$ ，所以它的首位至多为 $8$ 。

从一位数 $9^0$ 开始，经过 $4000$ 次乘法后，位数达到 $3817$ 。因此位数在 $3816$ 步中增加，并在 $4000-3816=184$ 步中保持不变。由于 $9^0=1$ 的首位不是 $9$ ，所以 $T$ 中恰有 $184$ 个元素满足这一条件。

For $k\geq1,$ the number $9^k$ begins with $9$ exactly when it has the same number of digits as $9^{k-1}.$ Indeed, if $9^{k-1}$ has $d$ digits and multiplication by $9$ creates no new digit, then $9^k\geq9\cdot10^{d-1},$ so its leading digit is $9.$ If multiplication does create a new digit, then $9^k\lt9\cdot10^d,$ so its leading digit is at most $8.$

Starting from the one-digit number $9^0,$ the digit count reaches $3817$ after $4000$ multiplications. Thus it increases on $3816$ steps and stays unchanged on $4000-3816=184$ steps. Since $9^0=1$ does not begin with $9,$ exactly $184$ elements of $T$ do.

1990 AIME 第 13 题

答案：184

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题