Question

数列 $101$ 、 $104$ 、 $109$ 、 $116$ 、 $\ldots$ 中的各数均形如 $a_n=100+n^2$ ，其中 $n=1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $\ldots$ 。对每个 $n$ ，令 $d_n$ 为 $a_n$ 与 $a_{n+1}$ 的最大公因数。当 $n$ 遍历所有正整数时，求 $d_n$ 的最大值。

The numbers in the sequence $101,$ $104,$ $109,$ $116,$ $\ldots$ are of the form $a_n=100+n^2,$ where $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ For each $n,$ let $d_n$ be the greatest common divisor of $a_n$ and $a_{n+1}.$ Find the maximum value of $d_n$ as $n$ ranges through the positive integers.

答案

答案：401

知识点：最大公约数代数变形质数

难度评级：2410

小提示：

相邻两项的公因数也整除它们的差 $2n+1$

A common divisor of consecutive terms also divides their difference $2n+1$

大提示：

组合 $n^2+100$ 与 $2n+1$ ，证明其最大公因数整除一个固定质数

Combine $n^2+100$ and $2n+1$ to show that the gcd divides a fixed prime

解答：

公因数 $d_n$ 整除 $a_{n+1}-a_n=2n+1\text{。}$ 因此它也整除 $\begin{aligned} &4(n^2+100)-(2n+1)^2\\ &\qquad{}+2(2n+1)=401 \end{aligned}\text{。}$ 由于 $401$ 是质数， $d_n\leq401$ 。当 $n=200$ 时等号成立，因为 $2n+1=401$ ，且 $n^2+100=40100=100\cdot401$ 。所以最大值为 $401$ 。

A common divisor $d_n$ divides $a_{n+1}-a_n=2n+1.$ It therefore also divides $\begin{aligned} &4(n^2+100)-(2n+1)^2\\ &\qquad{}+2(2n+1)=401. \end{aligned}$ Since $401$ is prime, $d_n\leq401.$ Equality occurs at $n=200,$ because $2n+1=401$ and $n^2+100=40100=100\cdot401.$ Hence the maximum is $401.$

1985 AIME 第 13 题

答案：401

难度评级：2410

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题