1985 AIME 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

设 $x_1=97$ ，且当 $n\gt1$ 时，令 $x_n=\frac{n}{x_{n-1}}$ 。求乘积 $x_1x_2\cdots x_8$ 。

Let $x_1=97,$ and for $n\gt1$ let $x_n=\frac{n}{x_{n-1}}.$ Calculate the product $x_1x_2\cdots x_8.$

答案

知识点：递推代数变形

难度评级：1610

小提示：

利用递推关系将相邻项相乘

Multiply consecutive terms using the recurrence

大提示：

将所求乘积组合为 $(x_1x_2)(x_3x_4)(x_5x_6)(x_7x_8)$

Group the requested product as $(x_1x_2)(x_3x_4)(x_5x_6)(x_7x_8)$

解答：

由递推关系可得 $x_{n-1}x_n=n$ 。因此 $\begin{aligned} x_1x_2\cdots x_8 &=(x_1x_2)(x_3x_4)\\ &\quad{}\cdot(x_5x_6)(x_7x_8)\\ &=2\cdot4\cdot6\cdot8\\ &=384 \end{aligned}\text{。}$

The recurrence gives $x_{n-1}x_n=n.$ Therefore $\begin{aligned} x_1x_2\cdots x_8 &=(x_1x_2)(x_3x_4)\\ &\quad{}\cdot(x_5x_6)(x_7x_8)\\ &=2\cdot4\cdot6\cdot8\\ &=384. \end{aligned}$

2.

将一个直角三角形绕一条直角边旋转，所得圆锥的体积为 $800\pi\text{ cm}^3$ 。将该三角形绕另一条直角边旋转，所得圆锥的体积为 $1920\pi\text{ cm}^3$ 。该三角形的斜边长是多少厘米？

When a right triangle is rotated about one leg, the volume of the cone produced is $800\pi\text{ cm}^3.$ When the triangle is rotated about the other leg, the volume of the cone produced is $1920\pi\text{ cm}^3.$ What is the length (in cm) of the hypotenuse of the triangle?

答案

知识点：圆锥体积勾股定理

难度评级：1890

小提示：

用三角形的两条直角边 $a$ 和 $b$ 表示两个圆锥的体积

Write the two cone volumes in terms of the triangle’s legs $a$ and $b$

大提示：

两个体积方程相除，即可得到两条直角边之比

Dividing the volume equations gives the ratio of the two legs

解答：

设两条直角边为 $a$ 和 $b$ 。适当安排对应关系，可得 $\begin{aligned} \frac13\pi b^2a&=800\pi,\\ \frac13\pi a^2b&=1920\pi \end{aligned}\text{。}$ 两式相除得 $\frac{a}{b}=\frac{12}{5}$ ，因而令 $a=12k$ ，且 $b=5k$ 。第一个方程化为 $100k^3=800$ ，所以 $k=2$ 。两条直角边分别为 $24$ 和 $10$ ，因此斜边长为 $\sqrt{24^2+10^2}=26$ 。

Let the legs be $a$ and $b.$ In a suitable order, $\begin{aligned} \frac13\pi b^2a&=800\pi,\\ \frac13\pi a^2b&=1920\pi. \end{aligned}$ Their ratio gives $\frac{a}{b}=\frac{12}{5},$ so write $a=12k$ and $b=5k.$ The first equation becomes $100k^3=800,$ hence $k=2.$ The legs are $24$ and $10,$ so the hypotenuse is $\sqrt{24^2+10^2}=26.$

3.

若正整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $c=(a+bi)^3-107i$ ，其中 $i^2=-1$ ，求 $c$ 。

Find $c$ if $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers which satisfy $c=(a+bi)^3-107i,$ where $i^2=-1.$

答案

知识点：复数丢番图方程因式分解

难度评级：2160

小提示：

展开 $(a+bi)^3$ ，并令其虚部等于 $107$

Expand $(a+bi)^3$ and set its imaginary part equal to $107$

大提示：

所得方程说明正整数 $b$ 是 $107$ 的因数

The resulting equation shows that the positive integer $b$ divides $107$

解答：

展开并利用 $c$ 为实数，可得 $b(3a^2-b^2)=107\text{。}$ 由于 $107$ 是质数， $b=1$ 或 $107$ 。后一种情形要求 $3a^2=11450$ ，这是不可能的。因此 $b=1$ ，且 $3a^2-1=107$ ，从而 $a=6$ 。实部为 $c=a^3-3ab^2=216-18=198\text{。}$

Expanding and using that $c$ is real gives $b(3a^2-b^2)=107.$ Since $107$ is prime, $b=1$ or $107.$ The latter would require $3a^2=11450,$ which is impossible. Thus $b=1,$ and $3a^2-1=107,$ so $a=6.$ The real part is $c=a^3-3ab^2=216-18=198.$

4.

将一个面积为 $1$ 的正方形的每条边分成 $n$ 个相等的部分，再将各顶点与最靠近其对面顶点的分点连接，如图所示，从而在单位正方形内部构造一个小正方形。若小正方形（图中阴影部分）的面积恰为 $\frac1{1985}$ ，求 $n$ 的值。

A small square is constructed inside a square of area $1$ by dividing each side of the unit square into $n$ equal parts, and then connecting the vertices to the division points closest to the opposite vertices, as shown. Find the value of $n$ if the area of the small square (shaded in the figure) is exactly $\frac1{1985}.$

答案

知识点：正方形（几何）距离公式二次方程

难度评级：2260

小提示：

将单位正方形置于坐标平面上，并写出两条平行构造线的方程

Place the unit square on a coordinate plane and write equations for two parallel construction lines

大提示：

两条平行线之间的距离就是小正方形的边长

The distance between the parallel lines is the side length of the small square

解答：

将外正方形的四个顶点置于 $(0,0)$ 、 $(1,0)$ 、 $(1,1)$ 、 $(0,1)$ 。其中一对构造线的方程为 $\begin{aligned} nx-(n-1)y&=0,\\ nx-(n-1)y&=1 \end{aligned}\text{。}$ 另一对构造线与这一对垂直，而且两对平行线的间距相同。因此内正方形的边长为 $\frac1{\sqrt{n^2+(n-1)^2}}\text{，}$ 其面积为 $\frac{1}{n^2+(n-1)^2}$ 。所以 $n^2+(n-1)^2=1985\text{，}$ 即 $n^2-n-992=0$ 。其正根为 $n=\frac{1+63}{2}=32$ 。

Put the outer square at $(0,0),$ $(1,0),$ $(1,1),$ $(0,1).$ One pair of construction lines has equations $\begin{aligned} nx-(n-1)y&=0,\\ nx-(n-1)y&=1. \end{aligned}$ The other pair is perpendicular to this pair, and the two pairs have the same separation. Thus the inner square has side length $\frac1{\sqrt{n^2+(n-1)^2}}$ and area $\frac{1}{n^2+(n-1)^2}.$ Hence $n^2+(n-1)^2=1985,$ or $n^2-n-992=0.$ Its positive root is $n=\frac{1+63}{2}=32.$

5.

一个整数数列 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $\ldots$ 满足：对每个 $n\geq3$ ，都有 $a_n=a_{n-1}-a_{n-2}$ 。若该数列前 $1492$ 项的和为 $1985$ ，且前 $1985$ 项的和为 $1492$ ，求前 $2001$ 项的和。

A sequence of integers $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ is chosen so that $a_n=a_{n-1}-a_{n-2}$ for each $n\geq3.$ What is the sum of the first $2001$ terms of this sequence if the sum of the first $1492$ terms is $1985,$ and the sum of the first $1985$ terms is $1492?$

答案

知识点：递推找规律方程组

难度评级：2110

小提示：

用 $a_1$ 和 $a_2$ 表示前六项

Write the first six terms in terms of $a_1$ and $a_2$

大提示：

该数列每六项循环一次，而且每个六项组的和为 $0$

The sequence repeats every six terms, and each six-term block has sum $0$

解答：

令 $a_1=x$ ，且 $a_2=y$ 。前六项为 $x,\ y,\ y-x,\ -x,\ -y,\ x-y\text{，}$ 此后数列开始重复；这六项之和为 $0$ 。由于 $1492\equiv4\pmod6$ ，且 $1985\equiv5\pmod6$ ，已知条件给出 $\begin{aligned} 2y-x&=1985,\\ y-x&=1492 \end{aligned}\text{。}$ 因而 $y=493$ 。又因为 $2001\equiv3\pmod6$ ，所求和为 $x+y+(y-x)=2y=986$ 。

Put $a_1=x$ and $a_2=y.$ The first six terms are $x,\ y,\ y-x,\ -x,\ -y,\ x-y,$ after which the sequence repeats; these six terms sum to $0.$ Since $1492\equiv4\pmod6$ and $1985\equiv5\pmod6,$ the given equations are $\begin{aligned} 2y-x&=1985,\\ y-x&=1492. \end{aligned}$ Thus $y=493.$ Since $2001\equiv3\pmod6,$ the requested sum is $x+y+(y-x)=2y=986.$

6.

如图所示，从三角形 $ABC$ 的各顶点作经过同一内部点的直线，将它分成六个小三角形。其中四个三角形的面积已标在图中。求三角形 $ABC$ 的面积。

As shown in the figure, triangle $ABC$ is divided into six smaller triangles by lines drawn from the vertices through a common interior point. The areas of four of these triangles are as indicated. Find the area of triangle $ABC.$

答案

知识点：三角形面积面积比塞瓦定理

难度评级：2440

小提示：

将右上方未标出的面积记为 $x$ ，将左上方未标出的面积记为 $y$

Call the upper-right unlabeled area $x$ and the upper-left unlabeled area $y$

大提示：

结合等高三角形的面积比与塞瓦定理

Use equal-altitude area ratios along the sides, together with Ceva’s theorem

解答：

将右上方和左上方两个未标出的面积分别记为 $x$ 和 $y$ 。由三个分边比和塞瓦定理可得 $\frac43\cdot\frac{35}{x}\cdot\frac{84}{y}=1\text{，}$ 所以 $xy=3920$ 。

从 $A$ 引出的塞瓦线与 $BC$ 相交。 $BC$ 上两段的长度比为 $\frac{35}{x}$ 。利用以 $A$ 为共同顶点的两个大三角形计算同一个比值，得到 $\frac{35}{x}=\frac{40+30+35}{x+y+84}\text{，}$ 因而 $y+84=2x$ 。与 $xy=3920$ 联立求解，得 $x=70$ ，且 $y=56$ 。因此 $\begin{aligned} [ABC]&=84+70+35\\ &\quad{}+30+40+56=315 \end{aligned}\text{。}$

Let the unlabeled upper-right and upper-left areas be $x$ and $y,$ respectively. The three side-division ratios and Ceva’s theorem give $\frac43\cdot\frac{35}{x}\cdot\frac{84}{y}=1,$ so $xy=3920.$

The cevian from $A$ meets $BC.$ The ratio of the two segments of $BC$ is $\frac{35}{x}.$ Computing the same ratio from the two large triangles with vertex $A$ gives $\frac{35}{x}=\frac{40+30+35}{x+y+84},$ so $y+84=2x.$ Solving with $xy=3920$ yields $x=70$ and $y=56.$ Therefore $\begin{aligned} [ABC]&=84+70+35\\ &\quad{}+30+40+56=315. \end{aligned}$

7.

设正整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 满足 $a^5=b^4$ 、 $c^3=d^2$ ，且 $c-a=19$ 。求 $d-b$ 。

Assume that $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers such that $a^5=b^4,$ $c^3=d^2,$ and $c-a=19.$ Determine $d-b.$

答案

知识点：完全幂平方差丢番图方程

难度评级：2340

小提示：

参数化方程 $a^5=b^4$ 和 $c^3=d^2$ 的解

Parametrize the solutions of $a^5=b^4$ and $c^3=d^2$

大提示：

将所得差 $s^2-t^4$ 分解因式

Factor the resulting difference $s^2-t^4$

解答：

比较各质因数的指数，可取正整数 $s$ 、 $t$ ，使 $\begin{aligned} a&=t^4,\quad b=t^5,\\ c&=s^2,\quad d=s^3 \end{aligned}\text{。}$ 于是 $(s-t^2)(s+t^2)=s^2-t^4=19\text{。}$ 由于 $19$ 是质数，这两个因数分别为 $1$ 和 $19$ ，因而 $s=10$ ，且 $t^2=9$ 。所以 $t=3$ ，并且 $\begin{aligned} d-b&=10^3-3^5\\ &=1000-243=757 \end{aligned}\text{。}$

Comparing prime exponents, write $\begin{aligned} a&=t^4,\quad b=t^5,\\ c&=s^2,\quad d=s^3 \end{aligned}$ for positive integers $s,$ $t.$ Then $(s-t^2)(s+t^2)=s^2-t^4=19.$ Since $19$ is prime, the factors are $1$ and $19,$ giving $s=10$ and $t^2=9.$ Thus $t=3,$ and $\begin{aligned} d-b&=10^3-3^5\\ &=1000-243=757. \end{aligned}$

8.

下列七个数的和恰为 $19$ ： $\begin{aligned} a_1&=2.56,\\ a_2&=2.61,\\ a_3&=2.65,\\ a_4&=2.71,\\ a_5&=2.79,\\ a_6&=2.82,\\ a_7&=2.86 \end{aligned}\text{。}$ 现要将每个 $a_i$ 替换为整数近似值 $A_i$ ，其中 $1\leq i\leq7$ ，使各 $A_i$ 之和也为 $19$ ，并使“误差” $|A_i-a_i|$ 的最大值 $M$ 尽可能小。对于这个最小的 $M$ ，求 $100M$ 。

The sum of the following seven numbers is exactly $19:$ $\begin{aligned} a_1&=2.56,\\ a_2&=2.61,\\ a_3&=2.65,\\ a_4&=2.71,\\ a_5&=2.79,\\ a_6&=2.82,\\ a_7&=2.86. \end{aligned}$ It is desired to replace each $a_i$ by an integer approximation $A_i,$ $1\leq i\leq7,$ so that the sum of the $A_i$ ’s is also $19$ and so that $M,$ the maximum of the “errors” $|A_i-a_i|,$ is as small as possible. For this minimum $M,$ what is $100M?$

答案

知识点：估算最优化极端原理

难度评级：2160

小提示：

从七个 $3$ 出发，整数和必须减少 $2$

Starting from seven $3$ ’s, the integer sum must be reduced by $2$

大提示：

为使最大误差最小，将最小的两个 $a_i$ 向下取整为 $2$

To minimize the worst error, round the two smallest $a_i$ ’s down to $2$

解答：

取 $A_1=A_2=2$ ，且 $A_3=\cdots=A_7=3$ 。它们的和为 $19$ ，最大误差为 $|A_2-a_2|=0.61$ 。

若 $M\lt0.61$ ，则 $A_2,\ldots,A_7$ 必须都等于 $3$ ，而 $A_1$ 只能为 $2$ 或 $3$ 。因而它们的和至少为 $20$ ，矛盾。所以最小值为 $M=0.61$ ，且 $100M=61$ 。

Choose $A_1=A_2=2$ and $A_3=\cdots=A_7=3.$ The sum is $19,$ and the largest error is $|A_2-a_2|=0.61.$

If $M\lt0.61,$ then $A_2,\ldots,A_7$ must all equal $3,$ and $A_1$ can only be $2$ or $3.$ Their sum would therefore be at least $20,$ a contradiction. Thus the minimum is $M=0.61,$ and $100M=61.$

9.

在一个圆中，长度分别为 $2$ 、 $3$ 和 $4$ 的平行弦所对的圆心角依次为 $\alpha$ 、 $\beta$ 和 $\alpha+\beta$ 弧度，其中 $\alpha+\beta\lt\pi$ 。正有理数 $\cos\alpha$ 写成最简分数后，其分子与分母之和是多少？

In a circle, parallel chords of lengths $2,$ $3,$ and $4$ determine central angles of $\alpha,$ $\beta,$ and $\alpha+\beta$ radians, respectively, where $\alpha+\beta\lt\pi.$ If $\cos\alpha,$ which is a positive rational number, is expressed as a fraction in lowest terms, what is the sum of its numerator and denominator?

答案

知识点：弦三角恒等式方程组

难度评级：2410

小提示：

所对圆心角为 $\theta$ 的弦长为 $2R\sin(\frac{\theta}{2})$

A chord subtending angle $\theta$ has length $2R\sin(\frac{\theta}{2})$

大提示：

令 $x=\cos(\frac{\alpha}{2})$ ，且 $y=\cos(\frac{\beta}{2})$ ，再消去共同的半径

Let $x=\cos(\frac{\alpha}{2})$ and $y=\cos(\frac{\beta}{2}),$ then eliminate the common radius

解答：

令 $k=\frac{1}{2R}$ 、 $x=\cos(\frac{\alpha}{2})$ ，且 $y=\cos(\frac{\beta}{2})$ 。由弦长数据可得 $\begin{aligned} \sin\frac\alpha2&=2k,\\ \sin\frac\beta2&=3k,\\ \sin\frac{\alpha+\beta}{2}&=4k \end{aligned}\text{。}$ 和角公式给出 $2y+3x=4$ 。另外， $\frac{1-x^2}{4}=\frac{1-y^2}{9}\text{，}$ 所以 $9x^2-4y^2=5$ 。代入 $y=\frac{4-3x}{2}$ 得 $x=\frac{7}{8}$ 。因此 $\cos\alpha=2x^2-1=\frac{17}{32}\text{，}$ 所求之和为 $17+32=49$ 。

Put $k=\frac{1}{2R},$ $x=\cos(\frac{\alpha}{2}),$ and $y=\cos(\frac{\beta}{2}).$ The chord data give $\begin{aligned} \sin\frac\alpha2&=2k,\\ \sin\frac\beta2&=3k,\\ \sin\frac{\alpha+\beta}{2}&=4k. \end{aligned}$ The addition formula yields $2y+3x=4.$ Also $\frac{1-x^2}{4}=\frac{1-y^2}{9},$ so $9x^2-4y^2=5.$ Substituting $y=\frac{4-3x}{2}$ gives $x=\frac{7}{8}.$ Hence $\cos\alpha=2x^2-1=\frac{17}{32},$ and the requested sum is $17+32=49.$

10.

前 $1000$ 个正整数中，有多少个可表示为 $\lfloor2x\rfloor+\lfloor4x\rfloor+\lfloor6x\rfloor+\lfloor8x\rfloor\text{，}$ 其中 $x$ 为实数，而 $\lfloor z\rfloor$ 表示不超过 $z$ 的最大整数？

How many of the first $1000$ positive integers can be expressed in the form $\lfloor2x\rfloor+\lfloor4x\rfloor+\lfloor6x\rfloor+\lfloor8x\rfloor,$ where $x$ is a real number, and $\lfloor z\rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $z?$

答案

知识点：取整函数模运算区间内整数计数

难度评级：2340

小提示：

代入 $y=2x$ ，再将 $y$ 分为整数部分与小数部分

Substitute $y=2x$ and separate $y$ into its integer and fractional parts

大提示：

求 $0\leq r\lt1$ 时 $\lfloor r\rfloor+\lfloor2r\rfloor+\lfloor3r\rfloor+\lfloor4r\rfloor$ 的所有可能值

Determine the values of $\lfloor r\rfloor+\lfloor2r\rfloor+\lfloor3r\rfloor+\lfloor4r\rfloor$ for $0\leq r\lt1$

解答：

令 $y=2x=m+r$ ，其中 $m$ 为整数，且 $0\leq r\lt1$ 。原式为 $10m+\lfloor r\rfloor+\lfloor2r\rfloor+\lfloor3r\rfloor+\lfloor4r\rfloor\text{。}$ 检查分界点 $r=\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{3}{4}$ ，可知小数部分的贡献恰可取 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 。因而模 $10$ 时恰有六个可取的剩余类。前 $1000$ 个正整数中，可表示出的数共有 $100\cdot6=600$ 个。

Let $y=2x=m+r,$ where $m$ is an integer and $0\leq r\lt1.$ The expression is $10m+\lfloor r\rfloor+\lfloor2r\rfloor+\lfloor3r\rfloor+\lfloor4r\rfloor.$ Checking the breakpoints $r=\frac{1}{4},$ $\frac{1}{3},$ $\frac{1}{2},$ $\frac{2}{3},$ $\frac{3}{4}$ shows that the fractional-part contribution takes exactly the values $0,$ $1,$ $2,$ $4,$ $5,$ and $6.$ Thus precisely six residue classes modulo $10$ are attainable. Among the first $1000$ positive integers, this gives $100\cdot6=600.$

11.

在 $xy$ 平面中，一个椭圆的两个焦点为 $(9,20)$ 和 $(49,55)$ ，且该椭圆与 $x$ 轴相切。它的长轴长是多少？

An ellipse has foci at $(9,20)$ and $(49,55)$ in the $xy$ -plane and is tangent to the $x$ -axis. What is the length of its major axis?

答案

知识点：椭圆反射（几何）距离公式

难度评级：2360

小提示：

在切点处，椭圆上各点到两焦点的恒定距离和，等于 $x$ 轴上点到两焦点距离之和的最小值

At tangency, the constant sum of distances is the minimum such sum for a point on the $x$ -axis

大提示：

将一个焦点关于 $x$ 轴反射，把折线路径化为直线段

Reflect one focus across the $x$ -axis to turn the broken path into a straight segment

解答：

将 $(49,55)$ 关于 $x$ 轴反射到 $(49,-55)$ 。对 $x$ 轴上的点 $P$ ，它到原来两个焦点的距离之和，等于从 $(9,20)$ 经 $P$ 到 $(49,-55)$ 的折线路径长度。其最小值为直线距离 $\begin{aligned} &\sqrt{(49-9)^2+(-55-20)^2}\\ &\qquad{}=\sqrt{40^2+75^2}=85 \end{aligned}\text{。}$ 相切意味着椭圆上各点到两焦点的恒定距离和恰好等于这个最小值，而这个距离和就是长轴长，所以答案为 $85$ 。

Reflect $(49,55)$ across the $x$ -axis to $(49,-55).$ For a point $P$ on the $x$ -axis, the sum of its distances to the original foci equals the length of a broken path from $(9,20)$ through $P$ to $(49,-55).$ Its minimum is the straight-line distance $\begin{aligned} &\sqrt{(49-9)^2+(-55-20)^2}\\ &\qquad{}=\sqrt{40^2+75^2}=85. \end{aligned}$ Tangency means that the ellipse’s constant distance sum equals this minimum. That sum is the major-axis length, so the answer is $85.$

12.

设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 是一个棱长均为 $1$ 米的正四面体的四个顶点。一只虫子从顶点 $A$ 出发，并遵循以下规则：每到一个顶点，它都从与该顶点相接的三条棱中等概率地选择一条，再沿这条棱爬到另一端的顶点。虫子恰好爬行 $7$ 米后位于顶点 $A$ 的概率为 $p=\frac{n}{729}$ 。求 $n$ 的值。

Let $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ be the vertices of a regular tetrahedron, each of whose edges measures $1$ meter. A bug, starting from vertex $A,$ observes the following rule: at each vertex it chooses one of the three edges meeting at that vertex, each edge being equally likely to be chosen, and crawls along that edge to the vertex at its opposite end. Let $p=\frac{n}{729}$ be the probability that the bug is at vertex $A$ when it has crawled exactly $7$ meters. Find the value of $n.$

答案

知识点：随机游走递推基本概率

难度评级：2260

小提示：

令 $p_k$ 为走 $k$ 步后位于 $A$ 的概率

Let $p_k$ be the probability of being at $A$ after $k$ steps

大提示：

从 $A$ 以外的任意顶点出发，下一步走到 $A$ 的概率为 $\frac{1}{3}$

From any vertex other than $A,$ the probability of moving to $A$ is $\frac{1}{3}$

解答：

令 $p_k$ 为虫子走 $k$ 步后位于 $A$ 的概率。它不能停留在 $A$ ，而从其他任意顶点出发，下一步走到 $A$ 的概率为 $\frac{1}{3}$ 。因此 $p_{k+1}=\frac{1-p_k}{3},\qquad p_0=1\text{。}$ 解此递推关系，得 $p_k=\frac14+\frac34\left(-\frac13\right)^k\text{。}$ 所以 $p_7=\frac14-\frac{3}{4\cdot3^7}=\frac{182}{729}$ ，从而 $n=182$ 。

Let $p_k$ be the probability that the bug is at $A$ after $k$ steps. It cannot stay at $A,$ while from any other vertex it moves to $A$ with probability $\frac{1}{3}.$ Hence $p_{k+1}=\frac{1-p_k}{3},\qquad p_0=1.$ Solving this recurrence gives $p_k=\frac14+\frac34\left(-\frac13\right)^k.$ Thus $p_7=\frac14-\frac{3}{4\cdot3^7}=\frac{182}{729},$ so $n=182.$

13.

数列 $101$ 、 $104$ 、 $109$ 、 $116$ 、 $\ldots$ 中的各数均形如 $a_n=100+n^2$ ，其中 $n=1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $\ldots$ 。对每个 $n$ ，令 $d_n$ 为 $a_n$ 与 $a_{n+1}$ 的最大公因数。当 $n$ 遍历所有正整数时，求 $d_n$ 的最大值。

The numbers in the sequence $101,$ $104,$ $109,$ $116,$ $\ldots$ are of the form $a_n=100+n^2,$ where $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ For each $n,$ let $d_n$ be the greatest common divisor of $a_n$ and $a_{n+1}.$ Find the maximum value of $d_n$ as $n$ ranges through the positive integers.

答案

知识点：最大公约数代数变形质数

难度评级：2410

小提示：

相邻两项的公因数也整除它们的差 $2n+1$

A common divisor of consecutive terms also divides their difference $2n+1$

大提示：

组合 $n^2+100$ 与 $2n+1$ ，证明其最大公因数整除一个固定质数

Combine $n^2+100$ and $2n+1$ to show that the gcd divides a fixed prime

解答：

公因数 $d_n$ 整除 $a_{n+1}-a_n=2n+1\text{。}$ 因此它也整除 $\begin{aligned} &4(n^2+100)-(2n+1)^2\\ &\qquad{}+2(2n+1)=401 \end{aligned}\text{。}$ 由于 $401$ 是质数， $d_n\leq401$ 。当 $n=200$ 时等号成立，因为 $2n+1=401$ ，且 $n^2+100=40100=100\cdot401$ 。所以最大值为 $401$ 。

A common divisor $d_n$ divides $a_{n+1}-a_n=2n+1.$ It therefore also divides $\begin{aligned} &4(n^2+100)-(2n+1)^2\\ &\qquad{}+2(2n+1)=401. \end{aligned}$ Since $401$ is prime, $d_n\leq401.$ Equality occurs at $n=200,$ because $2n+1=401$ and $n^2+100=40100=100\cdot401.$ Hence the maximum is $401.$

14.

在一场锦标赛中，每名选手与其他每名选手恰好比赛一场。每场比赛中，胜者得 $1$ 分，负者得 $0$ 分；若比赛打平，两名选手各得 $\frac12$ 分。锦标赛结束后发现，每名选手所得分数恰有一半来自与得分最低的十名选手之间的比赛。（特别地，这十名最低分选手中的每一名，都有一半的得分来自与其余九名最低分选手之间的比赛。）锦标赛共有多少名选手？

In a tournament each player played exactly one game against each of the other players. In each game the winner was awarded $1$ point, the loser got $0$ points, and each of the two players earned $\frac12$ point if the game was a tie. After the completion of the tournament, it was found that exactly half of the points earned by each player were earned against the ten players with the least number of points. (In particular, each of the ten lowest-scoring players earned half of her or his points against the other nine of the ten.) What was the total number of players in the tournament?

答案

知识点：双重计数图论二次方程

难度评级：2720

小提示：

汇总得分最低的十名选手的分数，并计算他们相互之间的比赛数

Sum the scores of the ten lowest-scoring players and count their internal games

大提示：

令 $m$ 为其余选手的人数，并对两组之间比赛产生的分数进行双重计数

Let $m$ be the number of other players and double-count points from games across the two groups

解答：

得分最低的十名选手相互之间的比赛共贡献 $\binom{10}{2}=45$ 分。这是这十名选手总得分的一半，因此他们的总得分为 $90$ 。所以，他们在与其余 $m$ 名选手的比赛中共得到 $45$ 分。

因此，其余选手在对阵最低分十人时共得到 $10m-45$ 分。根据条件，这是其余选手总得分的一半，而所有选手的总分扣除最低分十人的总分后为 $\binom{m+10}{2}-90$ 。因而 $2(10m-45)=\binom{m+10}{2}-90\text{，}$ 得到 $(m-6)(m-15)=0$ 。若 $m=6$ ，最低分十人的平均得分为 $9$ 分，而其余六人的平均得分只有 $5$ ，后一组不可能排名在前一组之上。因此 $m=15$ ，选手总数为 $10+15=25$ 。

The games among the ten lowest players contribute $\binom{10}{2}=45$ total points. These are half of those ten players’ combined score, so their combined score is $90.$ Hence they earned $45$ points in games against the other $m$ players.

The other players therefore earned $10m-45$ points against the lowest ten. By the condition, this is half their combined score, which is $\binom{m+10}{2}-90.$ Thus $2(10m-45)=\binom{m+10}{2}-90,$ giving $(m-6)(m-15)=0.$ If $m=6,$ the lowest ten average $9$ points while the other six average only $5,$ impossible for the latter group to rank above them. Hence $m=15,$ and the total number of players is $10+15=25.$

15.

如下面第一幅图所示，连接两个相邻边的中点，将三个 $12\text{ cm}\times12\text{ cm}$ 的正方形分别切成 $A$ 和 $B$ 两块。再如第二幅图所示，将这六块拼接到一个正六边形上，以便折成一个多面体。这个多面体的体积（单位： $\text{cm}^3$ ）是多少？

Three $12\text{ cm}\times12\text{ cm}$ squares are each cut into two pieces $A$ and $B,$ as shown in the first figure below, by joining the midpoints of two adjacent sides. These six pieces are then attached to a regular hexagon, as shown in the second figure, so as to fold into a polyhedron. What is the volume (in $\text{cm}^3$ ) of this polyhedron?

答案

知识点：正方体展开图（立体几何）体积

难度评级：2720

小提示：

看出每个 $A$ 是切去一个角的正方形面，而每个 $B$ 正是被切下的角三角形

Recognize each $A$ as a square face with one corner cut off and each $B$ as that corner triangle

大提示：

一个经过正方体六条棱中点的平面截出正六边形，并将正方体分成两个全等部分

A plane through six edge midpoints of a cube cuts a regular hexagon and divides the cube into two congruent parts

解答：

考虑一个 $12\times12\times12$ 的正方体，以及经过六条棱中点的平面；这六条棱连接两组互为相对的三个顶点。在坐标范围 $0\leq x,y,z\leq12$ 内，该平面为 $x+y+z=18$ 。它截出的截面是边长为 $6\sqrt2$ 的正六边形，其边长与连接正方形相邻边中点的切割线段相同。

在正方体的三个面上，该平面留下一个切去角三角形的正方形，恰好就是 $A$ 块。在另外三个面上，它留下互补的等腰直角三角形，恰好就是 $B$ 块。因此，图示展开图就是该平面切分正方体所得的两部分之一。中心对称会交换这两部分，所以每部分的体积都是正方体体积的一半： $V=\frac{12^3}{2}=864\text{。}$

Consider a $12\times12\times12$ cube and the plane through the midpoints of the six edges that join opposite groups of three vertices. In coordinates $0\leq x,y,z\leq12,$ this is the plane $x+y+z=18.$ Its cross-section is a regular hexagon with side $6\sqrt2,$ the same as the cut edge joining adjacent side midpoints.

On three faces of the cube, the plane leaves a square with a corner triangle removed, exactly piece $A.$ On the other three faces, it leaves the complementary right-isosceles corner triangle, exactly piece $B.$ Thus the pictured net is one of the two pieces into which this plane cuts the cube. Central symmetry interchanges the two pieces, so each has half the cube’s volume: $V=\frac{12^3}{2}=864.$