Question

若整数 $a$ 和 $b$ 使 $x^2-x-1$ 是 $ax^{17}+bx^{16}+1$ 的因式，求 $a$ 。

Find $a$ if $a$ and $b$ are integers such that $x^2-x-1$ is a factor of $ax^{17}+bx^{16}+1.$

答案

答案：987

知识点：多项式斐波那契数列方程组

难度评级：2380

小提示：

模 $x^2-x-1$ 时，各次幂满足 $x^n=F_nx+F_{n-1}$

Modulo $x^2-x-1,$ powers satisfy $x^n=F_nx+F_{n-1}$

大提示：

令一次余式的两个系数都等于零，并使用卡西尼恒等式

Set both coefficients of the linear remainder equal to zero and use Cassini’s identity

解答：

模 $x^2-x-1$ 时，由 $x^2=x+1$ 得 $x^n=F_nx+F_{n-1}$ 。因此余式为 $\begin{aligned}r(x)={}&(1597a+987b)x\\&+(987a+610b+1)\end{aligned}\text{。}$ 两个系数都必须为零。由卡西尼恒等式，系数矩阵的行列式为 $1597(610)-987^2=1\text{。}$ 再由克莱姆法则得 $a=987$ 。

Modulo $x^2-x-1,$ the relation $x^2=x+1$ gives $x^n=F_nx+F_{n-1}.$ Hence the remainder is $\begin{aligned}r(x)={}&(1597a+987b)x\\&+(987a+610b+1).\end{aligned}$ Both coefficients must vanish. The determinant of the coefficient matrix is $1597(610)-987^2=1$ by Cassini’s identity. Cramer’s rule then gives $a=987.$

1988 AIME 第 13 题

答案：987

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题