1988 AIME 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

有一种市售的十按钮锁，只要以任意顺序按下正确的五个按钮即可打开。某把锁的密码为 $\{1,2,3,6,9\}$ 。现将这种锁重新设计，使一至九个按钮组成的集合都可作为密码。这样会增加多少种密码？

One commercially available ten-button lock may be opened by depressing—in any order—the correct five buttons. One sample has $\{1,2,3,6,9\}$ as its combination. Suppose that these locks are redesigned so that sets of as many as nine buttons or as few as one button could serve as combinations. How many additional combinations would this allow?

答案

知识点：组合子集补集计数

难度评级：1630

小提示：

计算十个按钮的所有非空真子集

Count all nonempty proper subsets of the ten buttons

大提示：

减去原设计已经允许的五按钮密码

Subtract the five-button combinations that the original design already allowed

解答：

新设计允许除全集外的每个非空子集，共有 $2^{10}-2=1022$ 种密码。原设计允许 $\binom{10}{5}=252$ 种。因此增加的密码数为 $1022-252=770$ 。

The redesigned lock permits every nonempty subset except the full set, giving $2^{10}-2=1022$ combinations. The original lock permits $\binom{10}{5}=252.$ Thus the number of additional combinations is $1022-252=770.$

2.

对任意正整数 $k$ ，令 $f_1(k)$ 表示 $k$ 的各位数字之和的平方。对 $n\geq2$ ，令 $f_n(k)=f_1(f_{n-1}(k))$ 。求 $f_{1988}(11)$ 。

For any positive integer $k,$ let $f_1(k)$ denote the square of the sum of the digits of $k.$ For $n\geq2,$ let $f_n(k)=f_1(f_{n-1}(k)).$ Find $f_{1988}(11).$

答案

知识点：数字递推找规律

难度评级：1690

小提示：

计算前几次迭代，直到某个值重复出现

Compute the first several iterates until a value repeats

大提示：

经过开头的若干项后，数列在两个数之间交替

After the transient values, the sequence alternates between two numbers

解答：

迭代值依次从 $4$ 、 $16$ 、 $49$ 、 $169$ 、 $256$ 开始，随后为 $169$ 、 $256$ 、 $\ldots$ 。因此从第四次迭代起，偶数下标对应 $169$ ，奇数下标对应 $256$ 。因为 $1988$ 是偶数，所以 $f_{1988}(11)=169$ 。

The iterates begin $4,$ $16,$ $49,$ $169,$ $256,$ followed by $169,$ $256,$ $\ldots.$ Thus from the fourth iterate onward, even indices give $169$ and odd indices give $256.$ Since $1988$ is even, $f_{1988}(11)=169.$

3.

若 $\log_2(\log_8 x)=\log_8(\log_2 x)$ ，求 $(\log_2 x)^2$ 。

Find $(\log_2 x)^2$ if $\log_2(\log_8 x)=\log_8(\log_2 x).$

答案

知识点：对数换元法代数变形

难度评级：1860

小提示：

令 $y=\log_2x$ ，并将所有以 $8$ 为底的对数改写成以 $2$ 为底

Set $y=\log_2x$ and rewrite every base- $8$ logarithm in base $2$

大提示：

解出所得一次方程中的 $\log_2 y$

Solve the resulting linear equation for $\log_2 y$

解答：

令 $y=\log_2x\gt0$ 。因为 $\log_8x=\frac{y}{3}$ ，原方程化为 $\log_2(\frac{y}{3})=\frac13\log_2y\text{。}$ 因而 $\frac23\log_2y=\log_23$ ，所以 $y=3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt3$ 。因此 $(\log_2x)^2=y^2=27$ 。

Put $y=\log_2x\gt0.$ Since $\log_8x=\frac{y}{3},$ the equation becomes $\log_2(\frac{y}{3})=\frac13\log_2y.$ Hence $\frac23\log_2y=\log_23,$ so $y=3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt3.$ Therefore $(\log_2x)^2=y^2=27.$

4.

设当 $i=1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 、 $n$ 时，均有 $|x_i|\lt1$ 。并且

$\begin{aligned}&|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|\\&=19+\bigl|x_1+x_2\\&\qquad+\cdots+x_n\bigr|\end{aligned}\text{。}$

$n$ 的最小可能值是多少？

Suppose that $|x_i|\lt1$ for $i=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n.$ Suppose further that

$\begin{aligned}&|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|\\&=19+\bigl|x_1+x_2\\&\qquad+\cdots+x_n\bigr|.\end{aligned}$

What is the smallest possible value of $n?$

答案

知识点：绝对值不等式极端原理

难度评级：1920

小提示：

令 $P$ 为正项之和， $N$ 为负项绝对值之和

Let $P$ be the sum of the positive terms and $N$ the sum of the absolute values of the negative terms

大提示：

左边减去最后一个绝对值等于 $2\min(P,N)$

The left side minus the final absolute value equals $2\min(P,N)$

解答：

令 $P$ 为正的 $x_i$ 之和， $N$ 为负的 $x_i$ 的绝对值之和。于是 $\begin{aligned}P+N-|P-N|&=2\min(P,N)\\&=19\end{aligned}\text{，}$ 所以 $P$ 和 $N$ 都至少为 $9.5$ 。因为每个 $|x_i|\lt1$ ，正、负两类各至少需要 $10$ 项，从而 $n\geq20$ 。取十项等于 $0.95$ ，另十项等于 $-0.95$ ，即可取到等号，所以最小值为 $20$ 。

Let $P$ be the sum of the positive $x_i$ and $N$ the sum of the absolute values of the negative $x_i.$ Then $\begin{aligned}P+N-|P-N|&=2\min(P,N)\\&=19,\end{aligned}$ so both $P$ and $N$ are at least $9.5.$ Because every $|x_i|\lt1,$ each sign requires at least $10$ terms, giving $n\geq20.$ Equality is attainable with ten terms equal to $0.95$ and ten equal to $-0.95,$ so the minimum is $20.$

5.

从 $10^{99}$ 的正因数中随机选择一个，它是 $10^{88}$ 的整数倍的概率写成最简分数 $\frac{m}{n}$ 。求 $m+n$ 。

Let $\frac{m}{n},$ in lowest terms, be the probability that a randomly chosen positive divisor of $10^{99}$ is an integer multiple of $10^{88}.$ Find $m+n.$

答案

知识点：因数个数基本概率质因数分解

难度评级：1770

小提示：

将每个因数写成 $2^a5^b$

Write every divisor as $2^a5^b$

大提示：

计算满足 $a\geq88$ 且 $b\geq88$ 的指数对数目，并约分所得概率

Count exponent pairs with $a\geq88$ and $b\geq88$ and reduce the resulting probability

解答：

每个因数都形如 $2^a5^b$ ，其中 $0\leq a\leq99$ 且 $0\leq b\leq99$ ，所以共有 $100^2=10000$ 个因数。若它是 $10^{88}$ 的倍数，则必须有 $88\leq a\leq99$ 且 $88\leq b\leq99$ ，共有 $12^2=144$ 个因数。概率为 $\frac{144}{10000}=\frac{9}{625}$ ，所以 $m+n=9+625=634$ 。

Every divisor is $2^a5^b$ with $0\leq a\leq99$ and $0\leq b\leq99,$ so there are $100^2=10000$ divisors. A multiple of $10^{88}$ requires $88\leq a\leq99$ and $88\leq b\leq99,$ giving $12^2=144$ divisors. The probability is $\frac{144}{10000}=\frac{9}{625},$ and $m+n=9+625=634.$

6.

可以在下图 $5\times5$ 方格的二十一个空格中填入正整数，使每一行和每一列中的数都成等差数列。求标有星号 $(*)$ 的空格中必须填入的数。

It is possible to place positive integers into the vacant twenty-one squares of the $5\times5$ square shown below so that the numbers in each row and column form arithmetic sequences. Find the number that must occupy the vacant square marked by the asterisk $(*).$

答案

知识点：等差数列找规律方程组

难度评级：2030

小提示：

从 $0$ 到 $4$ 依次标记各行和各列

Index the rows and columns from $0$ through $4$

大提示：

行和列均为等差数列的方格具有 $A+Bi+Cj+Dij$ 的形式

A grid whose rows and columns are arithmetic has the form $A+Bi+Cj+Dij$

解答：

从 $0$ 到 $4$ 标记各行和各列。行列条件说明一般项为 $A+Bi+Cj+Dij$ 。图中四个已知值给出 $\begin{aligned}A+4B&=0,\\A+B+C+D&=74,\\A+2B+4C+8D&=186,\\A+3B+2C+6D&=103\end{aligned}\text{。}$ 解得 $A=52$ 、 $B=-13$ 、 $C=30$ ，且 $D=5$ 。星号位于 $(i,j)=(0,3)$ ，所以其值为 $A+3C=52+90=142$ 。

Index rows and columns from $0$ to $4.$ The row and column conditions give the general entry $A+Bi+Cj+Dij.$ The four shown values yield $\begin{aligned}A+4B&=0,\\A+B+C+D&=74,\\A+2B+4C+8D&=186,\\A+3B+2C+6D&=103.\end{aligned}$ Solving gives $A=52,$ $B=-13,$ $C=30,$ and $D=5.$ The asterisk is at $(i,j)=(0,3),$ so its value is $A+3C=52+90=142.$

7.

在三角形 $ABC$ 中， $\tan\angle CAB=\frac{22}{7}$ ，且从 $A$ 作出的高将 $BC$ 分成长度为 $3$ 和 $17$ 的两段。求三角形 $ABC$ 的面积。

In triangle $ABC,$ $\tan\angle CAB=\frac{22}{7},$ and the altitude from $A$ divides $BC$ into segments of length $3$ and $17.$ What is the area of triangle $ABC?$

答案

知识点：三角形面积三角学向量

难度评级：1870

小提示：

设高的长度为 $h$ ，并将垂足置于原点

Let the altitude have length $h$ and place its foot at the origin

大提示：

用叉积除以点积表示两条边向量夹角的正切

Use cross product over dot product to express the tangent of the angle between the two side vectors

解答：

设高为 $h$ 。从 $A$ 指向 $BC$ 两端点的向量可取为 $(-3,-h)$ 和 $(17,-h)$ 。因此 $\tan\angle CAB=\frac{20h}{h^2-51}=\frac{22}{7}\text{。}$ 从而 $11h^2-70h-561=0$ ，其正根为 $h=11$ 。因为 $BC=3+17=20$ ，面积为 $\frac12(20)(11)=110$ 。

Let the altitude length be $h.$ From $A,$ vectors to the endpoints of $BC$ may be taken as $(-3,-h)$ and $(17,-h).$ Therefore $\tan\angle CAB=\frac{20h}{h^2-51}=\frac{22}{7}.$ Thus $11h^2-70h-561=0,$ whose positive root is $h=11.$ Since $BC=3+17=20,$ the area is $\frac12(20)(11)=110.$

8.

定义在正整数有序对集合上的函数 $f$ ，满足下列性质：

$\begin{gathered}f(x,x)=x,\\f(x,y)=f(y,x),\\(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)\end{gathered}\text{。}$

计算 $f(14,52)$ 。

The function $f,$ defined on the set of ordered pairs of positive integers, satisfies the following properties:

$\begin{gathered}f(x,x)=x,\\f(x,y)=f(y,x),\\(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y).\end{gathered}$

Calculate $f(14,52).$

答案

知识点：函数方程最大公约数最小公倍数

难度评级：2270

小提示：

当 $y\gt x$ 时，将第三个性质应用于 $(x,y-x)$

Apply the third property to $(x,y-x)$ when $y\gt x$

大提示：

将所得的减法规则与 $\operatorname{lcm}(x,y)$ 的相同规则比较

Compare the resulting subtraction rule with the same rule for $\operatorname{lcm}(x,y)$

解答：

当 $y\gt x$ 时，将第三个性质应用于 $(x,y-x)$ ，得到 $f(x,y)=\frac{y}{y-x}f(x,y-x)\text{。}$ 最小公倍数也满足相同关系，因为 $\gcd(x,y)=\gcd(x,y-x)$ 。因此，欧几里得算法每进行一次减法，商 $\frac{f(x,y)}{\operatorname{lcm}(x,y)}$ 都保持不变。在对角线上，该商等于 $\frac{f(g,g)}{g}=1$ ，所以 $f(x,y)=\operatorname{lcm}(x,y)$ 。因而 $\begin{aligned}f(14,52)&=\frac{14\cdot52}{\gcd(14,52)}\\&=364\end{aligned}\text{。}$

For $y\gt x,$ the third property applied to $(x,y-x)$ gives $f(x,y)=\frac{y}{y-x}f(x,y-x).$ The least common multiple obeys the identical relation, because $\gcd(x,y)=\gcd(x,y-x).$ Hence the quotient $\frac{f(x,y)}{\operatorname{lcm}(x,y)}$ is unchanged by each subtraction step of the Euclidean algorithm. On the diagonal it equals $\frac{f(g,g)}{g}=1,$ so $f(x,y)=\operatorname{lcm}(x,y).$ Therefore $\begin{aligned}f(14,52)&=\frac{14\cdot52}{\gcd(14,52)}\\&=364.\end{aligned}$

9.

求立方的末三位为 $888$ 的最小正整数。

Find the smallest positive integer whose cube ends in $888.$

答案

知识点：模运算个位数字二次方程

难度评级：1880

小提示：

个位数字说明该数必形如 $10a+2$

The units digit forces the number to have the form $10a+2$

大提示：

先将 $(10a+2)^3\equiv888\pmod{1000}$ 模 $125$ 化简

Reduce $(10a+2)^3\equiv888\pmod{1000}$ first modulo $125$

解答：

将该数写成 $10a+2$ 。把所需同余式模 $125$ 展开并除以 $5$ ，得到 $20a^2-a-1\equiv0\pmod{25}\text{。}$ 先模 $5$ 化简，得 $a\equiv4\pmod5$ ；再代入 $a=4+5b$ ，得 $b\equiv3\pmod5$ 。因此 $a\equiv19\pmod{25}$ ，最小候选值为 $10(19)+2=192$ 。它是偶数，所以其立方也满足 $0\pmod8$ ，且确有 $192^3=7{,}077{,}888$ 。

Write the number as $10a+2.$ Expanding the required congruence modulo $125$ and dividing by $5$ gives $20a^2-a-1\equiv0\pmod{25}.$ Reducing first modulo $5$ gives $a\equiv4\pmod5;$ substituting $a=4+5b$ then gives $b\equiv3\pmod5.$ Thus $a\equiv19\pmod{25},$ and the smallest candidate is $10(19)+2=192.$ It is even, so its cube is also $0\pmod8,$ and indeed $192^3=7{,}077{,}888.$

10.

一个凸多面体的面包括 $12$ 个正方形、 $8$ 个正六边形和 $6$ 个正八边形。在每个顶点处，恰有一个正方形、一个正六边形和一个正八边形相交。连接多面体顶点的线段中，有多少条位于多面体内部，而不是落在棱或面上？

A convex polyhedron has for its faces $12$ squares, $8$ regular hexagons, and $6$ regular octagons. At each vertex of the polyhedron one square, one hexagon, and one octagon meet. How many segments joining vertices of the polyhedron lie in the interior of the polyhedron rather than along an edge or a face?

答案

知识点：多面体双重计数组合

难度评级：2170

小提示：

分别对面与顶点、面与棱的关联进行双重计数，以求 $V$ 和 $E$

Double-count face-vertex and face-edge incidences to find $V$ and $E$

大提示：

计算所有顶点对，再减去同处一面的顶点对，并修正对棱的重复计数

Count all vertex pairs, then subtract pairs lying together on a face, correcting the double count of edges

解答：

面与顶点的关联总数为 $12(4)+8(6)+6(8)=144$ 。每个顶点有三个面相交，所以 $V=48$ 。同一个和式对每条棱计数两次，所以 $E=72$ 。

共有 $\binom{48}{2}=1128$ 个顶点对。逐面计算顶点对得到 $12\binom42+8\binom62+6\binom82=360$ 。在此和式中，每条棱被计算两次，其他同面顶点对各计算一次，所以不同的边界顶点对共有 $360-E=288$ 。因此有 $1128-288=840$ 条连接线段位于内部。

The total number of face-vertex incidences is $12(4)+8(6)+6(8)=144.$ Three faces meet at each vertex, so $V=48.$ The same sum counts each edge twice, so $E=72.$

There are $\binom{48}{2}=1128$ vertex pairs. Summing pairs on faces gives $12\binom42+8\binom62+6\binom82=360.$ Every edge was counted twice in this sum and every other same-face pair once, so the number of distinct boundary pairs is $360-E=288.$ Hence $1128-288=840$ joining segments lie in the interior.

11.

设 $w_1$ 、 $w_2$ 、 $\ldots$ 、 $w_n$ 为复数。若复平面内的一条直线 $L$ 包含点（复数） $z_1$ 、 $z_2$ 、 $\ldots$ 、 $z_n$ ，使得下式成立，就称 $L$ 为点 $w_1$ 、 $w_2$ 、 $\ldots$ 、 $w_n$ 的平均线：

$\sum_{k=1}^n(z_k-w_k)=0\text{。}$

对于 $w_1=32+170i$ 、 $w_2=-7+64i$ 、 $w_3=-9+200i$ 、 $w_4=1+27i$ 和 $w_5=-14+43i$ ，存在唯一一条 $y$ 轴截距为 $3$ 的平均线。求这条平均线的斜率。

Let $w_1,$ $w_2,$ $\ldots,$ $w_n$ be complex numbers. A line $L$ in the complex plane is called a mean line for the points $w_1,$ $w_2,$ $\ldots,$ $w_n$ if $L$ contains points (complex numbers) $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_n$ such that

$\sum_{k=1}^n(z_k-w_k)=0.$

For the numbers $w_1=32+170i,$ $w_2=-7+64i,$ $w_3=-9+200i,$ $w_4=1+27i,$ and $w_5=-14+43i,$ there is a unique mean line with $y$ -intercept $3.$ Find the slope of this mean line.

答案

知识点：复数重心斜率

难度评级：1970

小提示：

利用等式 $\sum(z_k-w_k)=0$ 比较两组点的平均值

Average the equation $\sum(z_k-w_k)=0$

大提示：

平均线恰好是经过给定各点重心的直线

A mean line is exactly a line through the centroid of the given points

解答：

该条件说明 $z_k$ 的平均值等于 $w_k$ 的平均值。因为所有 $z_k$ 都在 $L$ 上，所以它们的平均值也在 $L$ 上；反之，对于任何经过该平均值的直线，只需令所有 $z_k$ 都等于该点即可。重心满足 $\begin{aligned}\bar x&=\frac{32-7-9+1-14}{5}=\frac35,\\\bar y&=\frac{170+64+200+27+43}{5}\\&=\frac{504}{5}\end{aligned}\text{。}$ 经过该点与 $(0,3)$ 的直线斜率为 $\frac{\bigl(\frac{504}{5}-3\bigr)}{\frac35}=163$ 。

The condition says that the average of the $z_k$ equals the average of the $w_k.$ Since all $z_k$ lie on $L,$ their average lies on $L;$ conversely, any line through the average works by taking all $z_k$ equal to that point. The centroid satisfies $\begin{aligned}\bar x&=\frac{32-7-9+1-14}{5}=\frac35,\\\bar y&=\frac{170+64+200+27+43}{5}\\&=\frac{504}{5}.\end{aligned}$ The line through this point and $(0,3)$ has slope $\frac{\bigl(\frac{504}{5}-3\bigr)}{\frac35}=163.$

12.

设 $P$ 为三角形 $ABC$ 的内点，从各顶点作经过 $P$ 的直线并延伸至对边。令 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 表示图中所示线段的长度。若 $a+b+c=43$ ，且 $d=3$ ，求乘积 $abc$ 。

Let $P$ be an interior point of triangle $ABC$ and extend lines from the vertices through $P$ to the opposite sides. Let $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ denote the lengths of the segments indicated in the figure. Find the product $abc$ if $a+b+c=43$ and $d=3.$

答案

知识点：质点法比与比例对称性（代数）

难度评级：2380

小提示：

用比值 $a:d$ 、 $b:d$ 、 $c:d$ 表示 $P$ 的三个重心坐标

Express the three barycentric coordinates of $P$ using the ratios $a:d,$ $b:d,$ $c:d$

大提示：

使用 $\frac3{a+3}+\frac3{b+3}+\frac3{c+3}=1$ ，并作对称展开

Use $\frac3{a+3}+\frac3{b+3}+\frac3{c+3}=1$ and expand symmetrically

解答：

沿从 $A$ 出发的塞瓦线， $A$ 处的重心坐标为 $\frac{d}{a+d}$ ，其他顶点同理。因为三个坐标之和为 $1$ ，且 $d=3$ ，所以 $\frac3{a+3}+\frac3{b+3}+\frac3{c+3}=1\text{。}$ 令 $s_1=a+b+c=43$ 、 $s_2=ab+bc+ca$ ，且 $s_3=abc$ 。清除分母得 $\begin{aligned}3(s_2+6s_1+27)&=s_3+3s_2\\&\quad+9s_1+27\end{aligned}\text{。}$ 因此 $s_3=9s_1+54$ ，所以 $s_3=9(43)+54=441$ 。

Along the cevian from $A,$ the barycentric coordinate at $A$ is $\frac{d}{a+d},$ and similarly at the other vertices. Since the three coordinates sum to $1$ and $d=3,$ $\frac3{a+3}+\frac3{b+3}+\frac3{c+3}=1.$ Put $s_1=a+b+c=43,$ $s_2=ab+bc+ca,$ and $s_3=abc.$ Clearing denominators gives $\begin{aligned}3(s_2+6s_1+27)&=s_3+3s_2\\&\quad+9s_1+27.\end{aligned}$ Therefore $s_3=9s_1+54,$ so $s_3=9(43)+54=441.$

13.

若整数 $a$ 和 $b$ 使 $x^2-x-1$ 是 $ax^{17}+bx^{16}+1$ 的因式，求 $a$ 。

Find $a$ if $a$ and $b$ are integers such that $x^2-x-1$ is a factor of $ax^{17}+bx^{16}+1.$

答案

知识点：多项式斐波那契数列方程组

难度评级：2380

小提示：

模 $x^2-x-1$ 时，各次幂满足 $x^n=F_nx+F_{n-1}$

Modulo $x^2-x-1,$ powers satisfy $x^n=F_nx+F_{n-1}$

大提示：

令一次余式的两个系数都等于零，并使用卡西尼恒等式

Set both coefficients of the linear remainder equal to zero and use Cassini’s identity

解答：

模 $x^2-x-1$ 时，由 $x^2=x+1$ 得 $x^n=F_nx+F_{n-1}$ 。因此余式为 $\begin{aligned}r(x)={}&(1597a+987b)x\\&+(987a+610b+1)\end{aligned}\text{。}$ 两个系数都必须为零。由卡西尼恒等式，系数矩阵的行列式为 $1597(610)-987^2=1\text{。}$ 再由克莱姆法则得 $a=987$ 。

Modulo $x^2-x-1,$ the relation $x^2=x+1$ gives $x^n=F_nx+F_{n-1}.$ Hence the remainder is $\begin{aligned}r(x)={}&(1597a+987b)x\\&+(987a+610b+1).\end{aligned}$ Both coefficients must vanish. The determinant of the coefficient matrix is $1597(610)-987^2=1$ by Cassini’s identity. Cramer’s rule then gives $a=987.$

14.

设 $C$ 为 $xy=1$ 的图像，并以 $C^*$ 表示 $C$ 关于直线 $y=2x$ 的反射图像。将 $C^*$ 的方程写成

$12x^2+bxy+cy^2+d=0\text{。}$

求乘积 $bc$ 。

Let $C$ be the graph of $xy=1,$ and denote by $C^*$ the reflection of $C$ in the line $y=2x.$ Let the equation of $C^*$ be written in the form

$12x^2+bxy+cy^2+d=0.$

Find the product $bc.$

答案

知识点：反射（几何）变换双曲线

难度评级：2170

小提示：

求由 $(1,2)$ 张成的直线的反射矩阵

Find the reflection matrix for the line spanned by $(1,2)$

大提示：

因为反射是自身的逆变换，将反射后的坐标代入 $uv=1$

Because reflection is its own inverse, substitute the reflected coordinates into $uv=1$

解答：

关于由 $(1,2)$ 张成的直线的反射矩阵为 $\frac15\begin{pmatrix}-3&4\\4&3\end{pmatrix}\text{。}$ 因此，当点 $(x,y)$ 位于 $C^*$ 上时，它对应于坐标为 $u=\frac{-3x+4y}{5}$ 和 $v=\frac{4x+3y}{5}$ 的 $C$ 上一点。代入 $uv=1$ ，得到 $-12x^2+7xy+12y^2-25=0\text{，}$ 即 $12x^2-7xy-12y^2+25=0$ 。因此 $b=-7$ 、 $c=-12$ ，且 $bc=84$ 。

Reflection in the line spanned by $(1,2)$ has matrix $\frac15\begin{pmatrix}-3&4\\4&3\end{pmatrix}.$ Thus a point $(x,y)$ on $C^*$ came from $u=\frac{-3x+4y}{5}$ and $v=\frac{4x+3y}{5}$ on $C.$ Substituting $uv=1$ gives $-12x^2+7xy+12y^2-25=0,$ or $12x^2-7xy-12y^2+25=0.$ Hence $b=-7,$ $c=-12,$ and $bc=84.$

15.

在办公室里，一天中的不同时刻，老板会交给秘书一封待打字的信，并每次都把信放在秘书收件箱中信堆的最上面。秘书有空时，就从最上面取下一封信并打字。当天共有九封信要打，老板依次按 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 、 $7$ 、 $8$ 、 $9$ 的顺序送来。

离开去吃午饭时，秘书告诉同事信 $8$ 已经打完，但没有透露上午打字工作的其他情况。同事想知道九封信中哪些留到午饭后打，以及它们将按什么顺序打。根据以上信息，午饭后的打字顺序共有多少种可能？（没有任何信剩下也是一种可能。）

In an office at various times during the day, the boss gives the secretary a letter to type, each time putting the letter on top of the pile in the secretary’s in-box. When there is time, the secretary takes the top letter off the pile and types it. There are nine letters to be typed during the day, and the boss delivers them in the order $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9.$

While leaving for lunch, the secretary tells a colleague that letter $8$ has already been typed, but says nothing else about the morning’s typing. The colleague wonders which of the nine letters remain to be typed after lunch and in what order they will be typed. Based upon the above information, how many such after-lunch typing orders are possible? (That there are no letters left to be typed is one of the possibilities.)

答案

知识点：有限制的排列子集乘法原理

难度评级：2520

小提示：

信 $8$ 打完后， $1,\ldots,7$ 中剩余的信以后必须按递减顺序打

After $8$ has been typed, any remaining letters among $1,\ldots,7$ must later be typed in decreasing order

大提示：

根据 $9$ 是午饭前已经打完，还是仍需插入之后的顺序，分情况讨论

Separate the cases according to whether $9$ was typed before lunch or remains to be inserted into the later order

解答：

信 $8$ 打完后， $1,\ldots,7$ 的任意子集都可能留在信堆中，而剩余的信以后必须按递减顺序打。如果 $9$ 已经打完，选择该子集便给出 $2^7=128$ 种可能顺序。

如果 $9$ 留下，则从七封编号较小的信中选 $k$ 封，并把 $9$ 插入它们递减顺序中的任意 $k+1$ 个位置之一。共有 $\begin{aligned}\sum_{k=0}^7\binom7k(k+1)&=7\cdot2^6+2^7\\&=576\end{aligned}$ 种。每种顺序都可通过恰当安排上午的送信与打字过程实现，所以总数为 $128+576=704$ 。

Any subset of $1,\ldots,7$ can remain in the stack after $8$ has been typed, and those remaining letters must later be typed in decreasing order. If $9$ was already typed, choosing that subset gives $2^7=128$ possible orders.

If $9$ remains, choose $k$ of the seven smaller letters and insert $9$ into any of the $k+1$ positions in their decreasing order. This gives $\begin{aligned}\sum_{k=0}^7\binom7k(k+1)&=7\cdot2^6+2^7\\&=576.\end{aligned}$ Every such order can be realized by suitable morning choices, so the total is $128+576=704.$