Question

设 $C$ 为 $xy=1$ 的图像，并以 $C^*$ 表示 $C$ 关于直线 $y=2x$ 的反射图像。将 $C^*$ 的方程写成

$12x^2+bxy+cy^2+d=0\text{。}$

求乘积 $bc$ 。

Let $C$ be the graph of $xy=1,$ and denote by $C^*$ the reflection of $C$ in the line $y=2x.$ Let the equation of $C^*$ be written in the form

$12x^2+bxy+cy^2+d=0.$

Find the product $bc.$

答案

答案：84

知识点：反射（几何）变换双曲线

难度评级：2170

小提示：

求由 $(1,2)$ 张成的直线的反射矩阵

Find the reflection matrix for the line spanned by $(1,2)$

大提示：

因为反射是自身的逆变换，将反射后的坐标代入 $uv=1$

Because reflection is its own inverse, substitute the reflected coordinates into $uv=1$

解答：

关于由 $(1,2)$ 张成的直线的反射矩阵为 $\frac15\begin{pmatrix}-3&4\\4&3\end{pmatrix}\text{。}$ 因此，当点 $(x,y)$ 位于 $C^*$ 上时，它对应于坐标为 $u=\frac{-3x+4y}{5}$ 和 $v=\frac{4x+3y}{5}$ 的 $C$ 上一点。代入 $uv=1$ ，得到 $-12x^2+7xy+12y^2-25=0\text{，}$ 即 $12x^2-7xy-12y^2+25=0$ 。因此 $b=-7$ 、 $c=-12$ ，且 $bc=84$ 。

Reflection in the line spanned by $(1,2)$ has matrix $\frac15\begin{pmatrix}-3&4\\4&3\end{pmatrix}.$ Thus a point $(x,y)$ on $C^*$ came from $u=\frac{-3x+4y}{5}$ and $v=\frac{4x+3y}{5}$ on $C.$ Substituting $uv=1$ gives $-12x^2+7xy+12y^2-25=0,$ or $12x^2-7xy-12y^2+25=0.$ Hence $b=-7,$ $c=-12,$ and $bc=84.$

1988 AIME 第 14 题

答案：84

难度评级：2170

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解答：

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