Question

一个六边形内接于圆。它的五条边长为 $81$ ，第六条边记为 $\overline{AB}$ ，长为 $31$ 。求从 $A$ 出发可作的三条对角线的长度之和。

A hexagon is inscribed in a circle. Five of the sides have length $81$ and the sixth, denoted by $\overline{AB},$ has length $31.$ Find the sum of the lengths of the three diagonals that can be drawn from $A.$

答案

答案：384

知识点：弦三角恒等式三角学

难度评级：2710

小提示：

设每条长为 $81$ 的边所对的圆心角为 $2u$ ，并令 $t=2\cos u$ 。

Let $2u$ be the central angle subtended by each side of length $81$ , and set $t=2\cos u$

大提示：

用 $t$ 表示 $\frac{\sin(5u)}{\sin u}$ 以及三条对角线的长度比。

Express $\frac{\sin(5u)}{\sin u}$ and the three diagonal ratios in terms of $t$

解答：

设每条长为 $81$ 的边所对的圆心角为 $2u$ ，并令 $t=2\cos u$ 。剩余弧的半角为 $\pi-5u$ ，因此由弦长之比可得 $\begin{aligned}\frac{31}{81}&=\frac{\sin5u}{\sin u}\\&=t^4-3t^2+1\end{aligned}\text{。}$ 由此得到 $t^2=\frac{25}{9}$ 或 $\frac{2}{9}$ 。因为 $5u<\pi$ ，所以 $t>2\cos36^\circ$ ，从而 $t=\frac{5}{3}$ 。

从 $A$ 出发的三条对角线所对的较小圆心角分别与 $2u$ 、 $3u$ 、 $4u$ 相同。以长为 $81$ 的边为基准，它们的长度比分别为 $\begin{aligned}\frac{\sin2u}{\sin u}&=t,\\\frac{\sin3u}{\sin u}&=t^2-1,\\\frac{\sin4u}{\sin u}&=t^3-2t\end{aligned}\text{。}$ 因此它们的长度之和为 $\begin{aligned}81(t^3+t^2-t-1)&=81\left(\frac{128}{27}\right)\\&=384\end{aligned}\text{。}$

Let $2u$ be the central angle subtended by each $81$ -side, and put $t=2\cos u.$ The remaining arc has half-angle $\pi-5u,$ so the chord ratio gives $\begin{aligned}\frac{31}{81}&=\frac{\sin5u}{\sin u}\\&=t^4-3t^2+1.\end{aligned}$ This yields $t^2=\frac{25}{9}$ or $\frac{2}{9}.$ Because $5u<\pi,$ we have $t>2\cos36^\circ,$ so $t=\frac{5}{3}.$

The three diagonals from $A$ subtend the same minor angles as $2u,$ $3u,$ and $4u.$ Relative to an $81$ -side, their length ratios are $\begin{aligned}\frac{\sin2u}{\sin u}&=t,\\\frac{\sin3u}{\sin u}&=t^2-1,\\\frac{\sin4u}{\sin u}&=t^3-2t.\end{aligned}$ Their sum is therefore $\begin{aligned}81(t^3+t^2-t-1)&=81\left(\frac{128}{27}\right)\\&=384.\end{aligned}$

1991 AIME 第 14 题

答案：384

难度评级：2710

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