Question

一个抽屉中混有红袜子和蓝袜子，总数不超过 $1991$ 。从中随机不放回地抽取两只袜子，二者同为红色或同为蓝色的概率恰为 $\frac{1}{2}$ 。在符合这些条件的情况下，抽屉中红袜子的最大可能数量是多少？

A drawer contains a mixture of red socks and blue socks, at most $1991$ in all. It so happens that, when two socks are selected randomly without replacement, there is a probability of exactly $\frac{1}{2}$ that both are red or both are blue. What is the largest possible number of red socks in the drawer that is consistent with this data?

答案

答案：990

知识点：无放回抽样完全平方数最优化

难度评级：2250

小提示：

若有 $r$ 只红袜子和 $b$ 只蓝袜子，则条件等价于抽到两种颜色各一只的概率为 $\frac{1}{2}$ 。

If there are $r$ red and $b$ blue socks, it is equivalent to require probability $\frac{1}{2}$ of drawing one of each color

大提示：

利用 $n=r+b$ 和 $d=r-b$ ，将概率方程化为一个完全平方条件。

Use $n=r+b$ and $d=r-b$ to turn the probability equation into a square condition

解答：

设两种颜色的袜子数分别为 $r$ 和 $b$ ，并令 $n=r+b$ 。抽到不同颜色袜子的概率也为 $\frac{1}{2}$ ，所以 $\begin{aligned}\frac{rb}{\binom n2}&=\frac12,\\4rb&=n(n-1)\end{aligned}\text{。}$ 因为 $4rb=(r+b)^2-(r-b)^2$ ，上式化为 $(r-b)^2=n$ 。因此 $n=k^2$ 。取红袜子为数量较多的一种颜色，则 $r=\frac{k^2+k}{2}\text{。}$ 不超过 $1991$ 的最大完全平方数是 $44^2=1936$ ，由此 $r=\frac{1936+44}{2}=990$ 。

Let $r$ and $b$ be the two color counts and $n=r+b.$ The probability of drawing different colors is also $\frac{1}{2},$ so $\begin{aligned}\frac{rb}{\binom n2}&=\frac12,\\4rb&=n(n-1).\end{aligned}$ Since $4rb=(r+b)^2-(r-b)^2,$ this becomes $(r-b)^2=n.$ Thus $n=k^2$ and, choosing red as the more numerous color, $r=\frac{k^2+k}{2}.$ The largest square at most $1991$ is $44^2=1936,$ giving $r=\frac{1936+44}{2}=990.$

1991 AIME 第 13 题

答案：990

难度评级：2250

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题