Question

定义数列 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $\ldots$ ，其中 $a_n = \sum_{k=1}^{n} \sin(k)$ ，且 $k$ 表示弧度。求第 $100$ 个满足 $a_n \lt 0$ 的项的下标。

Define the sequence $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ by $a_n = \sum_{k=1}^{n} \sin(k),$ where $k$ represents radian measure. Find the index of the $100$ th term for which $a_n \lt 0.$

答案

答案：628

知识点：三角恒等式裂项相消取整函数

难度评级：3270

小提示：

将这个和乘以 $2\sin\frac{1}{2}$ ，并用积化和差恒等式让它裂项相消

Multiply the sum by $2\sin\frac{1}{2}$ and use a product-to-sum identity to make it telescope

大提示：

$a_n \lt 0$ 当且仅当对某个正整数 $m$ 有 $2\pi m - 1 \lt n \lt 2\pi m$ ，且每个这样的区间恰含一个整数

$a_n \lt 0$ exactly when $2\pi m - 1 \lt n \lt 2\pi m$ for some positive integer $m,$ and each such interval contains exactly one integer

解答：

把每一项乘以 $2\sin\frac{1}{2}$ ，并使用 $2\sin k \sin\frac{1}{2}$ $= \cos\left(k - \frac{1}{2}\right)$ $- \cos\left(k + \frac{1}{2}\right)$ ，这个和会裂项相消： $a_n = \frac{\cos\frac{1}{2} - \cos\left(n + \frac{1}{2}\right)}{2\sin\frac{1}{2}}\text{。}$

因此 $a_n \lt 0$ 当且仅当 $\cos\left(n + \frac{1}{2}\right) \gt \cos\frac{1}{2}$ ，这正好发生在 $n + \frac{1}{2}$ 与某个 $2\pi$ 的倍数相差小于 $\frac{1}{2}$ 时： $\begin{aligned} &2\pi m - \tfrac{1}{2} \lt n + \tfrac{1}{2} \\ &\lt 2\pi m + \tfrac{1}{2} \end{aligned}\text{，}$ 也就是 $2\pi m - 1 \lt n \lt 2\pi m\text{。}$ 每个区间 $(2\pi m - 1,\, 2\pi m)$ 长度为 $1$ ，且恰好包含一个整数，即 $\lfloor 2\pi m \rfloor$ 。

因此第 $100$ 个负项的下标为 $\lfloor 200\pi \rfloor$ 。因为 $3.14 \lt \pi \lt 3.145$ ，所以 $628 \lt 200\pi \lt 629$ ，故下标为 $628$ 。

Multiplying each term by $2\sin\frac{1}{2}$ and using $2\sin k \sin\frac{1}{2}$ $= \cos\left(k - \frac{1}{2}\right)$ $- \cos\left(k + \frac{1}{2}\right),$ the sum telescopes: $a_n = \frac{\cos\frac{1}{2} - \cos\left(n + \frac{1}{2}\right)}{2\sin\frac{1}{2}}.$

So $a_n \lt 0$ exactly when $\cos\left(n + \frac{1}{2}\right) \gt \cos\frac{1}{2},$ which happens exactly when $n + \frac{1}{2}$ is within $\frac{1}{2}$ of a multiple of $2\pi:$ $\begin{aligned} &2\pi m - \tfrac{1}{2} \lt n + \tfrac{1}{2} \\ &\lt 2\pi m + \tfrac{1}{2}, \end{aligned}$ i.e. $2\pi m - 1 \lt n \lt 2\pi m.$ Each interval $(2\pi m - 1,\, 2\pi m)$ has length $1$ and contains exactly one integer, namely $\lfloor 2\pi m \rfloor.$

Hence the $100$ th negative term has index $\lfloor 200\pi \rfloor.$ Since $3.14 \lt \pi \lt 3.145,$ we have $628 \lt 200\pi \lt 629,$ so the index is $628.$

2015 AIME II 第 13 题

答案：628

难度评级：3270

小提示：

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解答：

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