Question

在某个圆中，对应 $d$ 度弧的弦长为 $22$ 厘米，且对应 $2d$ 度弧的弦比对应 $3d$ 度弧的弦长 $20$ 厘米，其中 $d \lt 120$ 。对应 $3d$ 度弧的弦长为 $-m + \sqrt{n}$ 厘米，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数。求 $m + n$ 。

In a certain circle, the chord of a $d$ -degree arc is $22$ centimeters long, and the chord of a $2d$ -degree arc is $20$ centimeters longer than the chord of a $3d$ -degree arc, where $d \lt 120.$ The length of the chord of a $3d$ -degree arc is $-m + \sqrt{n}$ centimeters, where $m$ and $n$ are positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：174

知识点：弦三角恒等式二次方程

难度评级：2990

小提示：

对应 $\theta$ 度弧的弦长为 $2R\sin\frac{\theta}{2}$ 。设 $t = \frac{d}{2}$ ，并使用 $\sin 2t = 2\sin t\cos t$ 、 $\sin 3t = \sin t\,(4\cos^2 t - 1)$ 。

A chord of a $\theta$ -degree arc has length $2R\sin\frac{\theta}{2}.$ Set $t = \frac{d}{2}$ and use $\sin 2t = 2\sin t\cos t,$ $\sin 3t = \sin t\,(4\cos^2 t - 1).$

大提示：

全部除以 $2R \sin t = 22$ ，得到 $44\cos^2 t - 22\cos t - 1 = 0$ ，并注意 $3d$ 度弧的弦长等于 $44 \cos t - 20$ 。

Divide everything by $2R \sin t = 22$ to get $44\cos^2 t - 22\cos t - 1 = 0,$ and note the $3d$ -degree chord equals $44 \cos t - 20$

解答：

在半径为 $R$ 的圆中，对应 $\theta$ 度弧的弦长为 $2R\sin\frac{\theta}{2}$ 。令 $t = \frac{d}{2}$ ，则三条弦长分别为 $2R\sin t = 22$ 、 $2R \sin 2t$ 和 $2R \sin 3t$ 。利用 $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ 以及 $\sin 3t = \sin t\,(4\cos^2 t - 1)$ ，对应 $2d$ 度和 $3d$ 度弧的弦长分别为 $22 \cdot 2\cos t = 44 \cos t$ 与 $22\,(4\cos^2 t - 1)$ 。

“ $2d$ 弦比 $3d$ 弦长 $20$ ”这一条件变为 $44\cos t = 22\,(4\cos^2 t - 1) + 20$ ，化简得 $44 \cos^2 t - 22 \cos t - 1 = 0$ 。由此 $4\cos^2 t = 2\cos t + \frac{1}{11}$ ，所以 $3d$ 弦长为 $22\left(2\cos t + \frac{1}{11} - 1\right)$ $= 44 \cos t - 20$ 。

解二次方程， $\cos t = \frac{22 + \sqrt{484 + 176}}{88} = \frac{11 + \sqrt{165}}{44}$ （取 $+$ 根，因为 $d \lt 120$ 意味着 $t \lt 60^\circ$ ，所以 $\cos t \gt \frac{1}{2}$ ）。于是 $3d$ 弦长为 $44\cos t - 20$ $= 11 + \sqrt{165} - 20$ $= -9 + \sqrt{165}$ ，所以 $m + n = 9 + 165 = 174$ 。

A chord subtending a $\theta$ -degree arc in a circle of radius $R$ has length $2R\sin\frac{\theta}{2}.$ Write $t = \frac{d}{2},$ so the three chords are $2R\sin t = 22,$ $2R \sin 2t,$ and $2R \sin 3t.$ Using $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ and $\sin 3t = \sin t\,(4\cos^2 t - 1),$ the chords of the $2d$ - and $3d$ -degree arcs are $22 \cdot 2\cos t = 44 \cos t$ and $22\,(4\cos^2 t - 1).$

The condition “the $2d$ -chord is $20$ longer than the $3d$ -chord” becomes $44\cos t = 22\,(4\cos^2 t - 1) + 20,$ which simplifies to $44 \cos^2 t - 22 \cos t - 1 = 0.$ From this, $4\cos^2 t = 2\cos t + \frac{1}{11},$ so the $3d$ -chord equals $22\left(2\cos t + \frac{1}{11} - 1\right)$ $= 44 \cos t - 20.$

Solving the quadratic, $\cos t = \frac{22 + \sqrt{484 + 176}}{88} = \frac{11 + \sqrt{165}}{44}$ (the $+$ root since $d \lt 120$ means $t \lt 60^\circ,$ so $\cos t \gt \frac{1}{2}$ ). Then the $3d$ -chord is $44\cos t - 20$ $= 11 + \sqrt{165} - 20$ $= -9 + \sqrt{165},$ giving $m + n = 9 + 165 = 174.$

2001 AIME I 第 13 题

答案：174

难度评级：2990

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解答：

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