Question

正八边形 $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ 内接于面积为 $1$ 的圆。点 $P$ 在圆内，使得由 $\overline{PA_1}$ 、 $\overline{PA_2}$ 与圆的小弧 $\overset{\frown}{A_1A_2}$ 围成的区域面积为 $\frac{1}{7}$ ，而由 $\overline{PA_3}$ 、 $\overline{PA_4}$ 与圆的小弧 $\overset{\frown}{A_3A_4}$ 围成的区域面积为 $\frac{1}{9}$ 。存在正整数 $n$ ，使得由 $\overline{PA_6}$ 、 $\overline{PA_7}$ 与圆的小弧 $\overset{\frown}{A_6A_7}$ 围成的区域面积等于 $\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{n}$ 。求 $n$ 。

Regular octagon $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ is inscribed in a circle of area $1.$ Point $P$ lies inside the circle so that the region bounded by $\overline{PA_1},$ $\overline{PA_2},$ and the minor arc $\overset{\frown}{A_1A_2}$ of the circle has area $\frac{1}{7},$ while the region bounded by $\overline{PA_3},$ $\overline{PA_4},$ and the minor arc $\overset{\frown}{A_3A_4}$ of the circle has area $\frac{1}{9}.$ There is a positive integer $n$ such that the area of the region bounded by $\overline{PA_6},$ $\overline{PA_7},$ and the minor arc $\overset{\frown}{A_6A_7}$ of the circle is equal to $\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{n}.$ Find $n.$

答案

答案：504

知识点：正多边形扇形向量

难度评级：3270

小提示：

每个区域都是圆弓形加上三角形 $PA_iA_{i+1}$ ；其面积为 $\frac18$ 减去一个常数乘以 $P$ 在该边外法向单位向量上的分量

Each region is the circular segment plus triangle $PA_iA_{i+1};$ its area is $\frac18$ minus a constant times the component of $P$ along that side’s outward unit normal

大提示：

边 $A_6A_7$ 比边 $A_1A_2$ 多绕了五步，所以它的单位法向量为 $u_6 = -\frac{u_1 + u_3}{\sqrt{2}}$

Side $A_6A_7$ is five steps around from side $A_1A_2,$ so its unit normal is $u_6 = -\frac{u_1 + u_3}{\sqrt{2}}$

解答：

令 $O$ 为圆心， $s$ 为边长， $a$ 为内切半径， $u_i$ 为从 $O$ 指向弦 $A_iA_{i+1}$ 中点的单位向量。由 $\overline{PA_i}$ 、 $\overline{PA_{i+1}}$ 与圆弧围成的区域，是圆弓形加上三角形 $PA_iA_{i+1}$ 。圆弓形面积等于 $\frac{1}{8} - \frac{sa}{2}$ （扇形减去三角形 $OA_iA_{i+1}$ ），而以 $P$ 为顶点的三角形面积等于 $\frac{s}{2}(a - P \cdot u_i)$ ，这里 $a - P \cdot u_i$ 表示点 $P$ 到该弦的距离。相加得到 $\text{面积}_i = \frac{1}{8} - \frac{s}{2}\,(P \cdot u_i)\text{。}$

已知面积给出 $\frac{s}{2}(P \cdot u_1) = \frac{1}{8} - \frac{1}{7} = -\frac{1}{56}$ ，以及 $\frac{s}{2}(P \cdot u_3) = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} = \frac{1}{72}$ 。法向量每经过一条边旋转 $45^\circ$ ，所以 $u_3$ 是 $u_1$ 旋转 $90^\circ$ 后的向量，而 $u_6$ 比 $u_1$ 前进五条边，也就是 $u_1$ 旋转 $225^\circ$ 后的向量： $u_6 = -\frac{\sqrt{2}}{2}\,(u_1 + u_3)\text{。}$ 因此 $\begin{aligned} &\frac{s}{2}(P \cdot u_6) \\ &= -\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{56} + \frac{1}{72}\right) \\ &= -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{1}{252}\right) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{504} \end{aligned}\text{。}$

因此边 $A_6A_7$ 对应区域的面积为 $\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{504}$ ，所以 $n = 504$ 。

Let $O$ be the center, $s$ the side length, $a$ the apothem, and $u_i$ the unit vector from $O$ toward the midpoint of chord $A_iA_{i+1}.$ The region bounded by $\overline{PA_i},$ $\overline{PA_{i+1}},$ and the arc is the circular segment together with triangle $PA_iA_{i+1}.$ The segment has area $\frac{1}{8} - \frac{sa}{2}$ (sector minus triangle $OA_iA_{i+1}$ ), and the triangle at $P$ has area $\frac{s}{2}(a - P \cdot u_i),$ since $a - P \cdot u_i$ is the distance from $P$ to the chord. Adding, $\text{area}_i = \frac{1}{8} - \frac{s}{2}\,(P \cdot u_i).$

The given areas say $\frac{s}{2}(P \cdot u_1) = \frac{1}{8} - \frac{1}{7} = -\frac{1}{56}$ and $\frac{s}{2}(P \cdot u_3) = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} = \frac{1}{72}.$ The normals rotate $45^\circ$ per side, so $u_3$ is $u_1$ rotated $90^\circ,$ and $u_6,$ five steps from $u_1,$ is $u_1$ rotated $225^\circ:$ $u_6 = -\frac{\sqrt{2}}{2}\,(u_1 + u_3).$ Therefore $\begin{aligned} &\frac{s}{2}(P \cdot u_6) \\ &= -\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{56} + \frac{1}{72}\right) \\ &= -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{1}{252}\right) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{504}. \end{aligned}$

The region on side $A_6A_7$ thus has area $\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{504},$ so $n = 504.$

2019 AIME II 第 13 题

答案：504

难度评级：3270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题