Question

求下式的值： $\begin{aligned} 10\cot\bigl(&\cot^{-1}3+\cot^{-1}7\\ &{}+\cot^{-1}13+\cot^{-1}21\bigr) \end{aligned}\text{。}$

Find the value of $\begin{aligned} 10\cot\bigl(&\cot^{-1}3+\cot^{-1}7\\ &{}+\cot^{-1}13+\cot^{-1}21\bigr). \end{aligned}$

答案

答案：15

知识点：三角恒等式代数变形

难度评级：2280

小提示：

使用 $\cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}$

Use $\cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}$

大提示：

从左到右，每次合并两个反余切角

Combine the four inverse-cotangent angles two at a time from left to right

解答：

令 $\alpha=\cot^{-1}3+\cot^{-1}7$ 。由余切加法公式可得 $\begin{aligned} \cot\alpha&=\frac{3\cdot7-1}{3+7}\\ &=2 \end{aligned}\text{。}$ 再与下一个角合并，得到 $\frac{2\cdot13-1}{2+13}=\frac53\text{，}$ 最后与第四个角合并，得到 $\frac{(\frac{5}{3})\cdot21-1}{\frac{5}{3}+21}=\frac32\text{。}$ 乘以 $10$ ，结果为 $15$ 。

Let $\alpha=\cot^{-1}3+\cot^{-1}7.$ The cotangent addition formula gives $\begin{aligned} \cot\alpha&=\frac{3\cdot7-1}{3+7}\\ &=2. \end{aligned}$ Combining the next angle gives $\frac{2\cdot13-1}{2+13}=\frac53,$ and combining the last gives $\frac{(\frac{5}{3})\cdot21-1}{\frac{5}{3}+21}=\frac32.$ Multiplying by $10$ yields $15.$

1984 AIME 第 13 题

答案：15

难度评级：2280

小提示：

大提示：

解答：

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