Question

函数 $f$ 定义在全体实数上，并满足 $\begin{aligned} f(2+x)&=f(2-x),\\ f(7+x)&=f(7-x) \end{aligned}\text{，}$ 其中 $x$ 为任意实数。若 $x=0$ 是方程 $f(x)=0$ 的一个根，那么方程 $f(x)=0$ 至少必须有多少个根位于区间 $-1000\leq x\leq1000$ 内？

A function $f$ is defined for all real numbers and satisfies $\begin{aligned} f(2+x)&=f(2-x),\\ f(7+x)&=f(7-x) \end{aligned}$ for all real $x.$ If $x=0$ is a root of $f(x)=0,$ what is the least number of roots $f(x)=0$ must have in the interval $-1000\leq x\leq1000?$

答案

答案：401

知识点：函数方程反射（几何）区间内整数计数

难度评级：2110

小提示：

将两个等式理解为分别关于 $2$ 和 $7$ 的反射对称

Interpret the two identities as reflection symmetries about $2$ and $7$

大提示：

依次进行这两次反射会产生平移 $10$

Composing the two reflections produces a translation by $10$

解答：

这两个等式使根集在关于 $2$ 和 $7$ 的反射下保持不变。这两次反射的复合是平移 $10$ 。从根 $0$ 出发，这些变换迫使下列集合中的每个数都成为根： $\begin{gathered} \{10k:k\in\mathbb Z\}\\ {}\cup\{4+10k:k\in\mathbb Z\} \end{gathered}$ 在给定区间内，第一个集合贡献 $201$ 个根，第二个集合贡献 $200$ 个根，共有 $401$ 个。

这个下界可以达到：在上述不变集合上定义 $f$ 为 $0$ ，在其他地方定义为 $1$ 。它满足所要求的两种反射对称。因此，最少可能的根数为 $401$ 。

The identities make the root set invariant under reflection about $2$ and about $7.$ Their composition is translation by $10.$ Starting from the root $0,$ these operations force every number in $\begin{gathered} \{10k:k\in\mathbb Z\}\\ {}\cup\{4+10k:k\in\mathbb Z\} \end{gathered}$ to be a root. In the interval, the first set contributes $201$ roots and the second contributes $200,$ for a total of $401.$

This bound is attainable: define $f$ to be $0$ on this invariant set and $1$ elsewhere. It has both required reflection symmetries. Hence the least possible number is $401.$

1984 AIME 第 12 题

答案：401

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题