Question

棱锥 $OABCD$ 的底面 $ABCD$ 是正方形，棱 $\overline{OA}$ 、 $\overline{OB}$ 、 $\overline{OC}$ 、 $\overline{OD}$ 全等，并且 $\angle AOB=45^\circ$ 。设 $\theta$ 为面 $OAB$ 和面 $OBC$ 所成二面角的度数。已知 $\cos\theta=m+\sqrt n$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是整数，求 $m+n$ 。

Pyramid $OABCD$ has square base $ABCD,$ congruent edges $\overline{OA},$ $\overline{OB},$ $\overline{OC},$ and $\overline{OD},$ and $\angle AOB=45^\circ.$ Let $\theta$ be the measure of the dihedral angle formed by faces $OAB$ and $OBC.$ Given that $\cos\theta=m+\sqrt n,$ where $m$ and $n$ are integers, find $m+n.$

答案

答案：5

知识点：立体几何坐标几何向量

难度评级：2450

小提示：

将正方形的顶点置于 $(\pm1,\pm1,0)$ ，并将棱锥顶点置于 $(0,0,h)$

Place the square’s vertices at $(\pm1,\pm1,0)$ and the apex at $(0,0,h)$

大提示：

求 $h^2$ 时利用 $\angle AOB$ ，再取合适面法向量夹角的补角

Find $h^2$ from $\angle AOB,$ then take the supplement of the angle between suitable face normals

解答：

取相邻的底面顶点 $A=(1,1,0)$ 、 $B=(-1,1,0)$ 、 $C=(-1,-1,0)$ ，并令 $O=(0,0,h)$ 。由 $\angle AOB=45^\circ$ ， $\begin{aligned}\frac{h^2}{h^2+2}&=\frac1{\sqrt2},\\h^2&=2+2\sqrt2\end{aligned}\text{。}$ 两个面的法向量可分别取为 $(0,2h,2)$ 和 $(-2h,0,2)$ 。它们所成锐角的余弦为 $\frac{1}{h^2+1}=3-2\sqrt2$ 。内部二面角是这个角的补角，所以 $\cos\theta=2\sqrt2-3=-3+\sqrt8\text{。}$ 因此 $m+n=-3+8=5$ 。

Take adjacent base vertices $A=(1,1,0),$ $B=(-1,1,0),$ $C=(-1,-1,0)$ and $O=(0,0,h).$ From $\angle AOB=45^\circ,$ $\begin{aligned}\frac{h^2}{h^2+2}&=\frac1{\sqrt2},\\h^2&=2+2\sqrt2.\end{aligned}$ Normals to the two faces may be taken as $(0,2h,2)$ and $(-2h,0,2).$ Their acute angle has cosine $\frac{1}{h^2+1}=3-2\sqrt2.$ The interior dihedral angle is its supplement, so $\cos\theta=2\sqrt2-3=-3+\sqrt8.$ Thus $m+n=-3+8=5.$

1995 AIME 第 12 题

答案：5

难度评级：2450

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题