Question

圆的一条直径 $AB$ 的长度是一个 $2$ 位整数（十进制）。将该整数的两个数字反转，所得数是与直径垂直的弦 $CD$ 的长度。它们的交点 $H$ 到圆心 $O$ 的距离是正有理数。求 $AB$ 的长度。

Diameter $AB$ of a circle has length a $2$ -digit integer (base ten). Reversing the digits gives the length of the perpendicular chord $CD.$ The distance from their intersection point $H$ to the center $O$ is a positive rational number. Determine the length of $AB.$

答案

答案：65

知识点：弦数字完全平方数

难度评级：2410

小提示：

把直径写成 $10a+b$ ，把弦写成 $10b+a$

Write the diameter as $10a+b$ and the chord as $10b+a$

大提示：

圆心到弦的距离平方，等于直径平方与弦长平方之差的四分之一

The squared distance from the center to the chord is one fourth the difference of their squares

解答：

设直径为 $10a+b$ ，弦长为 $10b+a$ 。由于从圆心向弦所作的垂线平分弦， $\begin{aligned} 4OH^2&=(10a+b)^2\\ &\quad-(10b+a)^2\\ &=99(a^2-b^2) \end{aligned}\text{。}$ 要使 $OH$ 为有理数， $11(a^2-b^2)$ 必须是完全平方数。因此它等于 $121c^2$ ，所以 $(a-b)(a+b)=11c^2\text{。}$ 因为 $a$ 和 $b$ 是满足 $a>b$ 的数字，左边至多为 $81$ ，所以 $c=1$ 或 $2$ 。若 $c=1$ ，两个因数为 $1$ 和 $11$ ，得到 $a=6$ 、 $b=5$ 。若 $c=2$ ， $44$ 的各对因数要么奇偶性不同，要么会给出 $a>9$ 。因此直径为 $65$ 。

Let the diameter be $10a+b$ and the chord be $10b+a.$ Since a perpendicular from the center bisects a chord, $\begin{aligned} 4OH^2&=(10a+b)^2\\ &\quad-(10b+a)^2\\ &=99(a^2-b^2). \end{aligned}$ For $OH$ to be rational, $11(a^2-b^2)$ must be a square. Thus it equals $121c^2,$ so $(a-b)(a+b)=11c^2.$ Because $a$ and $b$ are digits with $a>b,$ the left side is at most $81,$ so $c=1$ or $2.$ If $c=1,$ the factors are $1$ and $11,$ giving $a=6$ and $b=5.$ If $c=2,$ the factor pairs of $44$ either have different parity or give $a>9.$ Hence the diameter is $65.$

1983 AIME 第 12 题

答案：65

难度评级：2410

小提示：

大提示：

解答：

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