Question

一块有围栏的长方形田地宽 $24$ 米、长 $52$ 米。一名农业研究人员有 $1994$ 米围栏，可用作内部围栏，把田地分割成全等的正方形试验地块。整块田地必须全部分割，而且正方形的边必须与田地边缘平行。使用这 $1994$ 米围栏中的全部或一部分，最多可以把田地分成多少块正方形试验地？

A fenced, rectangular field measures $24$ meters by $52$ meters. An agricultural researcher has $1994$ meters of fence that can be used for internal fencing to partition the field into congruent, square test plots. The entire field must be partitioned, and the sides of the squares must be parallel to the edges of the field. What is the largest number of square test plots into which the field can be partitioned using all or some of the $1994$ meters of fence?

答案

答案：702

知识点：铺砖整除性最优化

难度评级：1900

小提示：

若有 $m$ 行和 $n$ 列，则正方形边长相等迫使 $m:n=6:13$

If there are $m$ rows and $n$ columns, equality of square side lengths forces $m:n=6:13$

大提示：

令 $m=6k$ 且 $n=13k$ ，然后只计算内部围栏的长度

Write $m=6k$ and $n=13k$ , then calculate only the internal fence length

解答：

设网格有 $6k$ 行和 $13k$ 列，则每个正方形的边长为 $\frac{4}{k}$ 。内部的竖直和水平围栏总长为 $\begin{aligned}&52(6k-1)+24(13k-1)\\&\quad=624k-76\end{aligned}\text{。}$ 要求该长度不超过 $1994$ ，得到 $k\leq3$ 。当 $k=3$ 时，地块数为 $(6k)(13k)=78k^2=702$ 。

Let the grid have $6k$ rows and $13k$ columns, so each square has side $\frac{4}{k}.$ The internal vertical and horizontal fences have total length $\begin{aligned}&52(6k-1)+24(13k-1)\\&\quad=624k-76.\end{aligned}$ Requiring this to be at most $1994$ gives $k\leq3.$ With $k=3,$ the number of plots is $(6k)(13k)=78k^2=702.$

1994 AIME 第 12 题

答案：702

难度评级：1900

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题