Question

九十四块尺寸均为 $4''\times10''\times19''$ 的砖要一块叠在另一块上，形成一座高为 $94$ 块砖的塔。每块砖可以选择不同的朝向，使它为塔的总高度贡献 $4''$ 、 $10''$ 或 $19''$ 。使用全部 $94$ 块砖，可以得到多少种不同的塔高？

Ninety-four bricks, each measuring $4''\times10''\times19'',$ are to be stacked one on top of another to form a tower $94$ bricks tall. Each brick can be oriented so it contributes $4'',$ $10'',$ or $19''$ to the total height of the tower. How many different tower heights can be achieved using all $94$ of the bricks?

答案

答案：465

知识点：丢番图方程奇偶性区间内整数计数

难度评级：2270

小提示：

先让所有砖都贡献 $4$ 英寸，再计算可能的高度增量

Start with all bricks contributing $4$ inches and count possible increments

大提示：

若有 $c$ 块砖贡献 $19$ 英寸，则随着贡献 $10$ 英寸的砖块数变化，其余增量形成一个固定奇偶性的区间

If $c$ bricks contribute $19$ inches, the remaining increments form a parity interval as the number of $10$ -inch bricks varies

解答：

若有 $b$ 块砖采用高度 $10$ ，有 $c$ 块砖采用高度 $19$ ，则总高度为 $376+3(2b+5c)$ ，其中 $b,c\geq0$ 且 $b+c\leq94$ 。固定 $c$ 后， $v=2b+5c$ 的取值从 $5c$ 到 $188+3c$ ，每次增加二。 $c$ 为偶数时的区间覆盖 $v$ 从 $0$ 到 $464$ 的所有偶数值，以及 $470$ ，只缺少 $466$ 和 $468$ 。 $c$ 为奇数时的区间覆盖 $v$ 从 $5$ 到 $461$ 的所有奇数值，以及 $465$ 和 $467$ ，只缺少 $1$ 、 $3$ 、 $463$ 和 $469$ 。因此，不同的高度共有 $471-6=465$ 种。

If $b$ bricks use height $10$ and $c$ use height $19,$ the total is $376+3(2b+5c),$ where $b,c\geq0$ and $b+c\leq94.$ For fixed $c,$ the value $v=2b+5c$ runs by twos from $5c$ to $188+3c.$ The even- $c$ intervals cover every even $v$ from $0$ through $464,$ as well as $470,$ missing only $466$ and $468.$ The odd- $c$ intervals cover every odd $v$ from $5$ through $461,$ as well as $465$ and $467,$ missing only $1,$ $3,$ $463,$ and $469.$ Thus there are $471-6=465$ distinct heights.

1994 AIME 第 11 题

答案：465

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题