Question

有人注意到 $6!=8\cdot9\cdot10$ 。求最大的正整数 $n$ ，使得 $n!$ 可以表示为 $n-3$ 个连续正整数的乘积。

Someone observed that $6!=8\cdot9\cdot10.$ Find the largest positive integer $n$ for which $n!$ can be expressed as the product of $n-3$ consecutive positive integers.

答案

答案：23

知识点：阶乘极限情形界定不等式

难度评级：2230

小提示：

将 $n!$ 与分别从 $4$ 和 $5$ 开始的 $n-3$ 个连续整数之积比较

Compare $n!$ with products of $n-3$ consecutive integers beginning at $4$ and at $5$

大提示：

从 $5$ 开始的乘积等于 $\frac{(n+1)!}{4!}$

The product beginning at $5$ equals $\frac{(n+1)!}{4!}$

解答：

从 $4$ 开始的 $n-3$ 个连续整数之积为 $4\cdot5\cdots n=\frac{n!}{6}\text{，}$ 而从 $5$ 开始的乘积为 $\begin{aligned}5\cdot6\cdots(n+1)&=\frac{(n+1)!}{24}\\&=\frac{n+1}{24}n!\end{aligned}\text{。}$ 当 $n=23$ 时，后一个乘积等于 $n!$ ，所以 $23$ 可行。对于每个 $n\geq24$ ，从 $4$ 开始的乘积小于 $n!$ ，从 $5$ 开始的乘积大于 $n!$ ，并且乘积随首项严格增大。因此没有 $n\geq24$ 可行，最大可能值为 $23$ 。

The $n-3$ consecutive integers beginning at $4$ have product $4\cdot5\cdots n=\frac{n!}{6},$ while those beginning at $5$ have product $\begin{aligned}5\cdot6\cdots(n+1)&=\frac{(n+1)!}{24}\\&=\frac{n+1}{24}n!.\end{aligned}$ For $n=23,$ the latter product equals $n!,$ so $23$ works. For every $n\geq24,$ the product beginning at $4$ is below $n!,$ the product beginning at $5$ is above $n!,$ and the product strictly increases with its initial term. Hence no $n\geq24$ works, and the largest possible value is $23.$

1990 AIME 第 11 题

答案：23

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题