Question

三角形 $ABC$ 是直角三角形， $AC = 7$ ， $BC = 24$ ，且直角在 $C$ 点。 $M$ 是 $\overline{AB}$ 的中点，点 $D$ 与 $C$ 位于直线 $AB$ 的同侧，并满足 $AD = BD = 15$ 。已知 $\triangle CDM$ 的面积可表示为 $\frac{m\sqrt{n}}{p}$ ，其中 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 是正整数， $m$ 与 $p$ 互质，且 $n$ 不被任何质数的平方整除。求 $m + n + p$ 。

Triangle $ABC$ is a right triangle with $AC = 7,$ $BC = 24,$ and right angle at $C.$ Point $M$ is the midpoint of $\overline{AB},$ and $D$ is on the same side of line $AB$ as $C$ so that $AD = BD = 15.$ Given that the area of $\triangle CDM$ can be expressed as $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, $m$ and $p$ are relatively prime, and $n$ is not divisible by the square of any prime, find $m + n + p.$

答案

答案：578

知识点：中线（几何）余弦定理三角形面积

难度评级：2840

小提示：

斜边上的中线给出 $CM = \frac{25}{2}$ ，且 $D$ 位于过 $M$ 且垂直于 $AB$ 的直线上，因此 $DM = \sqrt{15^2 - \left(\frac{25}{2}\right)^2}$

The median to the hypotenuse gives $CM = \frac{25}{2},$ and $D$ lies on the perpendicular to $AB$ at $M,$ so $DM = \sqrt{15^2 - \left(\frac{25}{2}\right)^2}$

大提示：

使用面积 $= \frac{1}{2} \cdot CM \cdot DM \cdot \sin\angle CMD$ ，其中 $\angle CMD = 90^\circ - \angle AMC$ ，并从三角形 $AMC$ 的余弦定理求 $\cos\angle AMC$

Use area $= \frac{1}{2} \cdot CM \cdot DM \cdot \sin\angle CMD,$ where $\angle CMD = 90^\circ - \angle AMC,$ and get $\cos\angle AMC$ from the law of cosines in triangle $AMC$

解答：

斜边为 $AB = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25$ ，斜边上的中线给出 $CM = \frac{25}{2}$ 。因为 $AD = BD$ ，点 $D$ 位于过 $M$ 且垂直于 $AB$ 的直线上，所以 $DM \perp AB$ ，且其长度为 $\begin{aligned} DM &= \sqrt{15^2 - \left(\tfrac{25}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{\tfrac{275}{4}} = \tfrac{5\sqrt{11}}{2} \end{aligned}\text{。}$

设 $\beta = \angle AMC$ 。在三角形 $AMC$ 中， $AM = CM = \frac{25}{2}$ 且 $AC = 7$ ，由余弦定理得到 $\begin{aligned} \cos\beta &= \frac{\left(\frac{25}{2}\right)^2 + \left(\frac{25}{2}\right)^2 - 7^2} {2 \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{25}{2}} \\ &= \frac{527}{625} \end{aligned}\text{。}$ 由于 $C$ 和 $D$ 在 $AB$ 的同侧，且 $MD \perp AB$ ，我们有 $\angle CMD = 90^\circ - \beta$ ，所以 $\sin\angle CMD = \cos\beta$ 。

因此 $\begin{aligned} [CDM] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{5\sqrt{11}}{2} \cdot \frac{527}{625} \\ &= \frac{527\sqrt{11}}{40} \end{aligned}\text{，}$ 所以 $m + n + p = 527 + 11 + 40$ $= 578$ 。

The hypotenuse is $AB = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25,$ and the median to the hypotenuse gives $CM = \frac{25}{2}.$ Since $AD = BD,$ point $D$ lies on the perpendicular to $AB$ at $M,$ so $DM \perp AB$ and $\begin{aligned} DM &= \sqrt{15^2 - \left(\tfrac{25}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{\tfrac{275}{4}} = \tfrac{5\sqrt{11}}{2}. \end{aligned}$

Let $\beta = \angle AMC.$ In triangle $AMC$ with $AM = CM = \frac{25}{2}$ and $AC = 7,$ the law of cosines gives $\begin{aligned} \cos\beta &= \frac{\left(\frac{25}{2}\right)^2 + \left(\frac{25}{2}\right)^2 - 7^2} {2 \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{25}{2}} \\ &= \frac{527}{625}. \end{aligned}$ Since $C$ and $D$ are on the same side of $AB$ and $MD \perp AB,$ we have $\angle CMD = 90^\circ - \beta,$ so $\sin\angle CMD = \cos\beta.$

Therefore $\begin{aligned} [CDM] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{5\sqrt{11}}{2} \cdot \frac{527}{625} \\ &= \frac{527\sqrt{11}}{40}, \end{aligned}$ and $m + n + p = 527 + 11 + 40$ $= 578.$

2003 AIME II 第 11 题

答案：578

难度评级：2840

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