Question

已知 $\sum_{k=1}^{35} \sin 5k = \tan \frac{m}{n}$ ，角度以度为单位，且 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，并满足 $\frac{m}{n} \lt 90$ ，求 $m + n$ 。

Given that $\sum_{k=1}^{35} \sin 5k = \tan \frac{m}{n},$ where angles are measured in degrees, and $m$ and $n$ are relatively prime positive integers that satisfy $\frac{m}{n} \lt 90,$ find $m + n.$

答案

答案：177

知识点：三角恒等式裂项相消

难度评级：2560

小提示：

将和式乘以 $2 \sin 2.5^\circ$ ，并使用 $2 \sin\alpha \sin\beta$ $= \cos(\alpha - \beta)$ $- \cos(\alpha + \beta)$ 来裂项求和

Multiply the sum by $2 \sin 2.5^\circ$ and use $2 \sin\alpha \sin\beta$ $= \cos(\alpha - \beta)$ $- \cos(\alpha + \beta)$ to telescope

大提示：

剩下的两项可用 $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$ 合并；最后使用 $\cot\theta = \tan(90^\circ - \theta)$

The two surviving terms combine because $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta;$ finish with $\cot\theta = \tan(90^\circ - \theta)$

解答：

将该和式乘以 $2 \sin 2.5^\circ$ ，并应用 $2 \sin 5k^\circ \sin 2.5^\circ$ $= \cos(5k - 2.5)^\circ$ $- \cos(5k + 2.5)^\circ$ ，于是和式裂项相消： $\begin{aligned} &2 \sin 2.5^\circ \sum_{k=1}^{35} \sin 5k^\circ \\ &= \cos 2.5^\circ - \cos 177.5^\circ \\ &= 2\cos 2.5^\circ \end{aligned}\text{。}$

因此该和等于 $\frac{\cos 2.5^\circ}{\sin 2.5^\circ}$ $= \cot 2.5^\circ$ $= \tan 87.5^\circ$ $= \tan \frac{175}{2}^\circ$ 。因为 $\gcd(175, 2) = 1$ 且 $\frac{175}{2} \lt 90$ ，得 $m + n = 175 + 2 = 177$ 。

Multiply the sum by $2 \sin 2.5^\circ$ and apply $2 \sin 5k^\circ \sin 2.5^\circ$ $= \cos(5k - 2.5)^\circ$ $- \cos(5k + 2.5)^\circ,$ so the sum telescopes: $\begin{aligned} &2 \sin 2.5^\circ \sum_{k=1}^{35} \sin 5k^\circ \\ &= \cos 2.5^\circ - \cos 177.5^\circ \\ &= 2\cos 2.5^\circ. \end{aligned}$

Hence the sum equals $\frac{\cos 2.5^\circ}{\sin 2.5^\circ}$ $= \cot 2.5^\circ$ $= \tan 87.5^\circ$ $= \tan \frac{175}{2}^\circ.$ Since $\gcd(175, 2) = 1$ and $\frac{175}{2} \lt 90,$ we get $m + n = 175 + 2 = 177.$

1999 AIME 第 11 题

答案：177

难度评级：2560

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