Question

三角形 $ABC$ 的边长为 $AB = 7$ 、 $BC = 8$ 、 $CA = 9$ 。圆 $\omega_1$ 经过 $B$ ，并在 $A$ 处与直线 $AC$ 相切。圆 $\omega_2$ 经过 $C$ ，并在 $A$ 处与直线 $AB$ 相切。令 $K$ 为圆 $\omega_1$ 与 $\omega_2$ 除 $A$ 外的交点。于是 $AK = \frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 与 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

Triangle $ABC$ has side lengths $AB = 7,$ $BC = 8,$ and $CA = 9.$ Circle $\omega_1$ passes through $B$ and is tangent to line $AC$ at $A.$ Circle $\omega_2$ passes through $C$ and is tangent to line $AB$ at $A.$ Let $K$ be the intersection of circles $\omega_1$ and $\omega_2$ not equal to $A.$ Then $AK = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：11

知识点：切线相似余弦定理

难度评级：2990

小提示：

在两个圆中使用切线-弦定理： $\angle KAC = \angle KBA$ ，且 $\angle KAB = \angle KCA$

Use the tangent-chord angle in each circle: $\angle KAC = \angle KBA$ and $\angle KAB = \angle KCA$

大提示：

这些相等角使三角形 $KAB$ 与 $KCA$ 相似，并给出 $\angle BKC = 2\angle A$ ；在三角形 $BKC$ 中使用余弦定理

Those equal angles make triangles $KAB$ and $KCA$ similar and give $\angle BKC = 2\angle A;$ apply the law of cosines in triangle $BKC$

解答：

对 $\omega_1$ 使用切线-弦定理（切线 $AC$ ，弦 $AK$ ），得 $\angle KAC = \angle KBA$ ，对 $\omega_2$ 使用切线-弦定理（切线 $AB$ ，弦 $AK$ ），得 $\angle KAB = \angle KCA$ 。记 $u = \angle KAC$ 、 $v = \angle KAB$ ，则 $u + v = \angle A$ 。三角形 $KAB$ 与 $KCA$ 于是有 $\angle KAB = v = \angle KCA$ 且 $\angle KBA = u = \angle KAC$ ，所以 $\triangle KAB \sim \triangle KCA$ 。令 $t = AK$ ，得到 $\frac{KB}{t} = \frac{t}{KC} = \frac{AB}{CA} = \frac{7}{9}\text{，}$ 因此 $KB = \frac{7t}{9}$ ， $KC = \frac{9t}{7}$ 。另外 $\angle AKB = \angle AKC$ $= 180^\circ - u - v$ $= 180^\circ - \angle A$ ，所以 $\angle BKC = 360^\circ - 2(180^\circ - \angle A)$ $= 2\angle A$ 。

在 $ABC$ 中由余弦定理， $\cos A = \frac{49 + 81 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{11}{21}$ ，所以 $\cos 2A = 2\left(\frac{11}{21}\right)^2 - 1 = -\frac{199}{441}$ 。在三角形 $BKC$ 中使用余弦定理，得 $\begin{aligned} 64 &= \frac{49t^2}{81} + \frac{81t^2}{49} - 2t^2\cos 2A \\ &= t^2 \cdot \frac{2401 + 6561 + 3582}{3969} \\ &= \frac{12544\,t^2}{3969} \end{aligned}\text{，}$ 所以 $t^2 = \frac{64 \cdot 3969}{12544} = \frac{3969}{196}$ ，且 $t = \frac{63}{14} = \frac{9}{2}$ 。

因此 $AK = \frac{9}{2}$ ， $m + n = 9 + 2 = 11$ 。

By the tangent-chord angle in $\omega_1$ (tangent $AC,$ chord $AK$ ), $\angle KAC = \angle KBA,$ and in $\omega_2$ (tangent $AB,$ chord $AK$ ), $\angle KAB = \angle KCA.$ Write $u = \angle KAC$ and $v = \angle KAB,$ so $u + v = \angle A.$ Triangles $KAB$ and $KCA$ then have $\angle KAB = v = \angle KCA$ and $\angle KBA = u = \angle KAC,$ so $\triangle KAB \sim \triangle KCA.$ With $t = AK$ this gives $\frac{KB}{t} = \frac{t}{KC} = \frac{AB}{CA} = \frac{7}{9},$ so $KB = \frac{7t}{9}$ and $KC = \frac{9t}{7}.$ Also $\angle AKB = \angle AKC$ $= 180^\circ - u - v$ $= 180^\circ - \angle A,$ so $\angle BKC = 360^\circ - 2(180^\circ - \angle A)$ $= 2\angle A.$

From the law of cosines in $ABC,$ $\cos A = \frac{49 + 81 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{11}{21},$ so $\cos 2A = 2\left(\frac{11}{21}\right)^2 - 1 = -\frac{199}{441}.$ The law of cosines in triangle $BKC$ gives $\begin{aligned} 64 &= \frac{49t^2}{81} + \frac{81t^2}{49} - 2t^2\cos 2A \\ &= t^2 \cdot \frac{2401 + 6561 + 3582}{3969} \\ &= \frac{12544\,t^2}{3969}, \end{aligned}$ so $t^2 = \frac{64 \cdot 3969}{12544} = \frac{3969}{196}$ and $t = \frac{63}{14} = \frac{9}{2}.$

Hence $AK = \frac{9}{2}$ and $m + n = 9 + 2 = 11.$

2019 AIME II 第 11 题

答案：11

难度评级：2990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题