Question

直线 $l_1$ 和 $l_2$ 都经过原点，并分别与 $x$ 轴正方向成 $\frac{\pi}{70}$ 和 $\frac{\pi}{54}$ 弧度的第一象限角。对任意直线 $l$ ，变换 $R(l)$ 按如下方式产生另一条直线：先将 $l$ 关于 $l_1$ 反射，再将所得直线关于 $l_2$ 反射。令 $R^{(1)}(l)=R(l)$ ，且 $R^{(n)}(l)=R(R^{(n-1)}(l))$ 。已知 $l$ 是直线 $y=(\frac{19}{92})x$ ，求最小正整数 $m$ ，使得 $R^{(m)}(l)=l$ 。

Lines $l_1$ and $l_2$ both pass through the origin and make first-quadrant angles of $\frac{\pi}{70}$ and $\frac{\pi}{54}$ radians, respectively, with the positive $x$ -axis. For any line $l,$ the transformation $R(l)$ produces another line as follows: $l$ is reflected in $l_1,$ and the resulting line is reflected in $l_2.$ Let $R^{(1)}(l)=R(l)$ and $R^{(n)}(l)=R(R^{(n-1)}(l)).$ Given that $l$ is the line $y=(\frac{19}{92})x,$ find the smallest positive integer $m$ for which $R^{(m)}(l)=l.$

答案

答案：945

知识点：反射（几何）变换模运算

难度评级：2230

小提示：

关于两条相交直线依次反射，等价于旋转两直线夹角的两倍

Two reflections in intersecting lines compose to a rotation through twice the angle between the lines

大提示：

当累计旋转角是 $\pi$ 的整数倍时，一条不计方向的直线回到自身

An unoriented line returns to itself when its accumulated rotation is a multiple of $\pi$

解答：

这个复合变换等价于旋转 $2\left(\frac{\pi}{54}-\frac{\pi}{70}\right)=\frac{8\pi}{945}\text{。}$ 一条经过原点的直线在旋转后保持不变，当且仅当旋转角是 $\pi$ 的整数倍。因此 $m$ 必须满足 $\frac{8m}{945}\in\mathbb Z$ 。由于 $\gcd(8,945)=1$ ，最小的 $m$ 为 $945$ 。

The composition is rotation through $2\left(\frac{\pi}{54}-\frac{\pi}{70}\right)=\frac{8\pi}{945}.$ A line through the origin is unchanged by a rotation exactly when the rotation angle is a multiple of $\pi.$ Thus $m$ must satisfy $\frac{8m}{945}\in\mathbb Z.$ Since $\gcd(8,945)=1,$ the least such $m$ is $945.$

1992 AIME 第 11 题

答案：945

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题