Question

直角长方体 $P$ （即矩形平行六面体）的三条边长是整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，其中 $a\leq b\leq c$ 。一个与 $P$ 的某个面平行的平面把 $P$ 切成两个棱柱，其中一个与 $P$ 相似，并且两个棱柱的体积都不为零。已知 $b=1995$ ，存在这样的平面的有序三元组 $(a,b,c)$ 有多少个？

A right rectangular prism $P$ (i.e., a rectangular parallelepiped) has sides of integral length $a,$ $b,$ $c,$ with $a\leq b\leq c.$ A plane parallel to one of the faces of $P$ cuts $P$ into two prisms, one of which is similar to $P,$ and both of which have nonzero volume. Given that $b=1995,$ for how many ordered triples $(a,b,c)$ does such a plane exist?

答案

答案：40

知识点：相似因数个数因式分解

难度评级：2270

小提示：

将较小棱柱的三条边长排序，再依次与 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 比较

Sort the three side lengths of the smaller prism and compare them in order with $a,$ $b,$ and $c$

大提示：

两个保持不变的尺寸迫使 $\frac{a}{1995}=\frac{1995}{c}$

The two unchanged dimensions force $\frac{a}{1995}=\frac{1995}{c}$

解答：

设与原棱柱相似的较小棱柱按顺序排列的边长为 $x\leq y\leq z$ 。它与 $P$ 共有两条边长，而且排序后的三条边都小于 $P$ 中对应的边。唯一可能的对应关系为 $y=a$ 和 $z=b=1995$ 。由相似关系， $\frac{x}{a}=\frac{a}{1995}=\frac{1995}{c}\text{，}$ 所以 $ac=1995^2$ 。反过来，每个满足 $a<c$ 的因数对都给出一个非退化的切割。由于 $1995=3\cdot5\cdot7\cdot19$ ，它的平方有 $3^4=81$ 个因数。排除中间的因数对 $a=c=1995$ ，再从其余每对因数中取一个，得到 $\frac{81-1}{2}=40$ 。

Let the similar smaller prism have sorted sides $x\leq y\leq z.$ It shares two side lengths with $P,$ and all three of its sorted sides are smaller than the corresponding sides of $P.$ The only possible matching is $y=a$ and $z=b=1995.$ Similarity then gives $\frac{x}{a}=\frac{a}{1995}=\frac{1995}{c},$ so $ac=1995^2.$ Conversely every factor pair $a<c$ gives a nondegenerate cut. Since $1995=3\cdot5\cdot7\cdot19,$ its square has $3^4=81$ divisors. Excluding the central pair $a=c=1995$ and taking one divisor from each remaining pair gives $\frac{81-1}{2}=40.$

1995 AIME 第 11 题

答案：40

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题