Question

使 $3^{11}$ 可以表示为 $k$ 个连续正整数之和的最大 $k$ 是多少？

Find the largest possible $k$ for which $3^{11}$ is expressible as the sum of $k$ consecutive positive integers.

答案

答案：486

知识点：等差数列整除性指数

难度评级：2070

小提示：

将这个和写成 $\frac{k(2a+k-1)}{2}$

Write the sum as $\frac{k(2a+k-1)}{2}$

大提示：

可能的项数只能是 $2\cdot3^{11}$ 的因数；再要求首项为正

The only possible lengths divide $2\cdot3^{11}$ ; then enforce a positive first term

解答：

若首项为 $a$ ，则 $2\cdot3^{11}=k(2a+k-1)$ 。因此 $k$ 的形式为 $3^j$ 或 $2\cdot3^j$ 。可行的最大偶数选择为 $k=2\cdot3^5=486$ ，此时 $2a+k-1=3^6=729$ ，且 $a=122>0$ 。接下来的候选值 $3^6$ 和 $2\cdot3^6$ ，都会使首项非正，所有更大的选择也是如此。因此 $k=486$ 。

If the first term is $a,$ then $2\cdot3^{11}=k(2a+k-1).$ Thus $k$ is $3^j$ or $2\cdot3^j.$ The largest viable even choice is $k=2\cdot3^5=486,$ for which $2a+k-1=3^6=729$ and $a=122>0.$ The next candidates, $3^6$ and $2\cdot3^6,$ force a nonpositive first term, as do all larger choices. Hence $k=486.$

1987 AIME 第 11 题

答案：486

难度评级：2070

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题