Question

设 $P$ 为方程 $z^6+z^4+z^3+z^2+1=0$ 的所有虚部为正的根之积，并设 $P=r(\cos\theta^\circ+i\sin\theta^\circ)$ ，其中 $r>0$ ，且 $0\leq\theta<360$ 。求 $\theta$ 。

Let $P$ be the product of the roots of $z^6+z^4+z^3+z^2+1=0$ that have positive imaginary part, and suppose that $P=r(\cos\theta^\circ+i\sin\theta^\circ),$ where $r>0$ and $0\leq\theta<360.$ Find $\theta.$

答案

答案：276

知识点：复数单位根因式分解

难度评级：2270

小提示：

除以 $z^3$ ，并令 $w=z+z^{-1}$

Divide by $z^3$ and set $w=z+z^{-1}$

大提示：

将所得关于 $w$ 的三次式因式分解，并把每个值识别为 $2\cos\phi$

Factor the resulting cubic in $w$ and identify each value as $2\cos\phi$

解答：

没有根为零。除以 $z^3$ ，并令 $w=z+z^{-1}$ ，得到 $\begin{aligned}w^3-2w+1&=0,\\{}(w-1)(w^2+w-1)&=0\end{aligned}\text{。}$ 它的三个根为 $\begin{aligned}1&=2\cos60^\circ,\\\frac{\sqrt5-1}{2}&=2\cos72^\circ,\\-\frac{1+\sqrt5}{2}&=2\cos144^\circ\end{aligned}\text{。}$ 对于每个 $w=2\cos\phi$ ，原方程的对应根为 $e^{i\phi}$ 和 $e^{-i\phi}$ 。因此虚部为正的三个根的辐角分别为 $60^\circ$ 、 $72^\circ$ 和 $144^\circ$ 。它们的乘积的辐角为 $60+72+144=276^\circ$ ，所以 $\theta=276$ 。

No root is zero. Dividing by $z^3$ and setting $w=z+z^{-1}$ gives $\begin{aligned}w^3-2w+1&=0,\\{}(w-1)(w^2+w-1)&=0.\end{aligned}$ Its three roots are $\begin{aligned}1&=2\cos60^\circ,\\\frac{\sqrt5-1}{2}&=2\cos72^\circ,\\-\frac{1+\sqrt5}{2}&=2\cos144^\circ.\end{aligned}$ For each value $w=2\cos\phi,$ the corresponding roots of the original equation are $e^{i\phi}$ and $e^{-i\phi}.$ Thus the roots with positive imaginary part have arguments $60^\circ,$ $72^\circ,$ and $144^\circ.$ Their product has argument $60+72+144=276^\circ,$ so $\theta=276.$

1996 AIME 第 11 题

答案：276

难度评级：2270

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