1996 AIME 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

在幻方中，任意一行、一列或一条对角线上的三个数之和都等于同一个数。图中给出了一个幻方中的四个数。求 $x$ 。

In a magic square, the sum of the three entries in any row, column, or diagonal is the same value. The figure shows four of the entries of a magic square. Find $x.$

答案

知识点：幻方方程组

难度评级：1650

小提示：

设中心格中的数为 $e$ ，公共和为 $S$

Let $e$ be the center entry and $S$ the common sum

大提示：

在 $3\times3$ 幻方中， $S=3e$ ，且关于中心对称的两格之和为 $2e$

In a $3\times3$ magic square, $S=3e$ and opposite entries sum to $2e$

解答：

设中心格中的数为 $e$ ，公共和为 $S$ 。在任意 $3\times3$ 幻方中， $S=3e$ ，且关于中心对称的两格之和为 $2e$ 。因此左下角的数为 $2e-96$ 。由第一列和第一行可得 $\begin{aligned}x+1+(2e-96)&=3e,\\x+19+96&=3e\end{aligned}\text{。}$ 第一个方程给出 $e=x-95$ ，第二个方程给出 $3e=x+115$ 。所以 $3x-285=x+115$ ，从而 $x=200$ 。

Let the center entry be $e$ and the common sum be $S.$ In any $3\times3$ magic square, $S=3e$ and entries opposite across the center sum to $2e.$ Thus the bottom-left entry is $2e-96.$ The first column and first row give $\begin{aligned}x+1+(2e-96)&=3e,\\x+19+96&=3e.\end{aligned}$ The first equation says $e=x-95,$ while the second says $3e=x+115.$ Hence $3x-285=x+115,$ so $x=200.$

2.

对每个实数 $x$ ，用 $\lfloor x\rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。有多少个正整数 $n$ 同时满足 $n<1000$ ，并且 $\lfloor\log_2 n\rfloor$ 是正偶数？

For each real number $x,$ let $\lfloor x\rfloor$ denote the greatest integer that does not exceed $x.$ For how many positive integers $n$ is it true that $n<1000$ and that $\lfloor\log_2 n\rfloor$ is a positive even integer?

答案

知识点：取整函数对数区间内整数计数

难度评级：1740

小提示：

把 $\lfloor\log_2n\rfloor$ 的每个可能值转化为一个以二的幂为端点的区间

Translate each possible value of $\lfloor\log_2n\rfloor$ into a power-of-two interval

大提示：

小于 $1000$ 的可能偶数值为 $2$ 、 $4$ 、 $6$ 和 $8$

The possible even values below $1000$ are $2,$ $4,$ $6,$ and $8$

解答：

若 $\lfloor\log_2n\rfloor=k$ ，则 $2^k\leq n<2^{k+1}$ 。 $k$ 可以取 $2$ 、 $4$ 、 $6$ 或 $8$ ，因为 $2^{10}>1000$ 。对应区间中的整数个数分别为 $2^2$ 、 $2^4$ 、 $2^6$ 和 $2^8$ 。因此所求个数为 $4+16+64+256=340\text{。}$

If $\lfloor\log_2n\rfloor=k,$ then $2^k\leq n<2^{k+1}.$ The value of $k$ can be $2,$ $4,$ $6,$ or $8,$ since $2^{10}>1000.$ The corresponding interval sizes are $2^2,$ $2^4,$ $2^6,$ and $2^8.$ Therefore the requested number is $4+16+64+256=340.$

3.

求最小正整数 $n$ ，使得 $(xy-3x+7y-21)^n$ 展开并合并同类项后至少有 $1996$ 项。

Find the smallest positive integer $n$ for which the expansion of $(xy-3x+7y-21)^n,$ after like terms have been collected, has at least $1996$ terms.

答案

知识点：因式分解二项式定理数对计数

难度评级：1690

小提示：

先将底式因式分解，再取其 $n$ 次方

Factor the expression before raising it to the $n$ th power

大提示：

计算 $x$ 与 $y$ 的指数有多少种不同搭配

Count the distinct choices of the exponents of $x$ and $y$

解答：

底式可分解为 $\begin{gathered}xy-3x+7y-21\\=(x+7)(y-3)\end{gathered}\text{。}$ 因此它的 $n$ 次方为 $(x+7)^n(y-3)^n$ 。 $x$ 的指数可取从 $0$ 到 $n$ 的每个值，而每个值都可与 $y$ 从 $0$ 到 $n$ 的每个指数搭配，并且所得各项的系数都不为零。因此共有 $(n+1)^2$ 项。由于 $44^2<1996\leq45^2$ ， $n+1$ 的最小可能值为 $45$ ，所以 $n=44$ 。

The base factors as $\begin{gathered}xy-3x+7y-21\\=(x+7)(y-3).\end{gathered}$ Hence its $n$ th power is $(x+7)^n(y-3)^n.$ Each exponent of $x$ from $0$ through $n$ can occur with each exponent of $y$ from $0$ through $n,$ and every resulting coefficient is nonzero. Thus there are $(n+1)^2$ terms. Since $44^2<1996\leq45^2,$ the least possible $n+1$ is $45,$ so $n=44.$

4.

一个边长为一厘米的木制正方体放在水平面上。点光源位于某个上顶点的正上方 $x$ 厘米处，正方体在水平面上投下阴影。不计正方体下方的区域，阴影面积为 $48$ 平方厘米。求不超过 $1000x$ 的最大整数。

A wooden cube, whose edges are one centimeter long, rests on a horizontal surface. Illuminated by a point source of light that is $x$ centimeters directly above an upper vertex, the cube casts a shadow on the horizontal surface. The area of the shadow, which does not include the area beneath the cube, is $48$ square centimeters. Find the greatest integer that does not exceed $1000x.$

答案

知识点：正方体相似面积

难度评级：1940

小提示：

从光源出发，将正方体的上表面投影到水平面上

Project the cube’s upper face onto the horizontal surface from the light source

大提示：

由相似三角形，投影正方形的边长为 $\frac{x+1}{x}$

Similar triangles give the projected side length as $\frac{x+1}{x}$

解答：

光源高出水平面 $x+1$ 厘米，并高出正方体上表面 $x$ 厘米。由相似关系，单位正方形上表面的投影是边长为 $\frac{x+1}{x}$ 的正方形。这个正方形包含正方体下方的单位正方形区域，所以 $\left(\frac{x+1}{x}\right)^2-1=48\text{。}$ 因此 $\frac{x+1}{x}=7$ ，从而 $x=\frac{1}{6}$ 。由于 $1000x=166\frac23$ ，不超过它的最大整数为 $166$ 。

The light is $x+1$ centimeters above the surface and $x$ centimeters above the cube’s top face. By similarity, the projection of that unit-square face is a square of side $\frac{x+1}{x}.$ This square contains the unit-square area beneath the cube, so $\left(\frac{x+1}{x}\right)^2-1=48.$ Therefore $\frac{x+1}{x}=7,$ giving $x=\frac{1}{6}.$ The greatest integer not exceeding $1000x=166\frac23$ is $166.$

5.

设方程 $x^3+3x^2+4x-11=0$ 的根为 $a$ 、 $b$ 和 $c$ ，而方程 $x^3+rx^2+sx+t=0$ 的根为 $a+b$ 、 $b+c$ 和 $c+a$ 。求 $t$ 。

Suppose that the roots of $x^3+3x^2+4x-11=0$ are $a,$ $b,$ and $c,$ and that the roots of $x^3+rx^2+sx+t=0$ are $a+b,$ $b+c,$ and $c+a.$ Find $t.$

答案

知识点：韦达定理多项式对称性（代数）

难度评级：1710

小提示：

对原三次方程使用韦达定理

Use Vieta’s formulas on the original cubic

大提示：

用基本对称和展开 $(a+b)(b+c)(c+a)$

Expand $(a+b)(b+c)(c+a)$ in symmetric sums

解答：

由韦达定理， $\begin{aligned}a+b+c&=-3,\\ab+bc+ca&=4,\\abc&=11\end{aligned}\text{。}$ 另外， $\begin{gathered}(a+b)(b+c)(c+a)\\=(a+b+c)(ab+bc+ca)\\\quad-abc=-23\end{gathered}\text{。}$ 这是第二个首一三次多项式的根之积，所以其常数项是这个乘积的相反数。因此 $t=23$ 。

Vieta’s formulas give $\begin{aligned}a+b+c&=-3,\\ab+bc+ca&=4,\\abc&=11.\end{aligned}$ Also, $\begin{gathered}(a+b)(b+c)(c+a)\\=(a+b+c)(ab+bc+ca)\\\quad-abc=-23.\end{gathered}$ This is the product of the roots of the second monic cubic, so its constant term is the negative of that product. Hence $t=23.$

6.

在一个有五支球队的循环赛中，每支球队都与其他每支球队比赛一场。每支球队在其参加的每场比赛中都有 $50\%$ 的获胜概率，且没有平局。设比赛既不产生全胜球队，也不产生全败球队的概率为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m+n$ 。

In a five-team tournament, each team plays one game with every other team. Each team has a $50\%$ chance of winning any game it plays. There are no ties. Let $\frac{m}{n}$ be the probability that the tournament will produce neither an undefeated team nor a winless team, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$

答案

知识点：补集计数容斥原理图论

难度评级：2170

小提示：

比赛结果共有 $2^{\binom52}$ 种等可能情形

There are $2^{\binom52}$ equally likely tournament outcomes

大提示：

对“存在全胜球队”和“存在全败球队”这两个事件使用容斥原理

Use inclusion-exclusion on the events that an undefeated or a winless team exists

解答：

比赛结果共有 $2^{10}=1024$ 种。指定一支全胜球队会确定它的四场比赛，而其余六场可任意决定，所以存在全胜球队的结果有 $5\cdot2^6=320$ 种。存在全败球队的结果也有同样多。若指定的两支不同球队分别全胜和全败，则有七场比赛被确定，其他三支球队之间的三场比赛可任意决定。因此交集中的结果有 $5\cdot4\cdot2^3=160$ 种。由容斥原理，所求结果数为 $1024-320-320+160=544\text{。}$ 概率为 $\frac{544}{1024}=\frac{17}{32}$ ，所以 $m+n=49$ 。

There are $2^{10}=1024$ outcomes. A specified undefeated team forces its four games and leaves the other six arbitrary, so there are $5\cdot2^6=320$ outcomes with an undefeated team. The same count holds for a winless team. If distinct specified teams are undefeated and winless, seven games are forced and the three games among the other teams are arbitrary. Thus the intersection count is $5\cdot4\cdot2^3=160.$ By inclusion-exclusion, the desired count is $1024-320-320+160=544.$ The probability is $\frac{544}{1024}=\frac{17}{32},$ so $m+n=49.$

7.

在一个 $7\times7$ 棋盘中，有两个方格涂成黄色，其余方格涂成绿色。如果一种配色方案可以通过在棋盘平面内旋转得到另一种方案，就称这两种方案等价。共有多少种不等价的配色方案？

Two of the squares of a $7\times7$ checkerboard are painted yellow, and the rest are painted green. Two color schemes are equivalent if one can be obtained from the other by applying a rotation in the plane of the board. How many inequivalent color schemes are possible?

答案

知识点：伯恩赛德引理组合 rotational symmetry

难度评级：2270

小提示：

分别计算四种旋转所保持的两个黄色方格配色方案数，再取平均值

Average the numbers of two-square colorings fixed by the four rotations

大提示：

只有旋转半周才能保持一对非平凡方格不变

Only a half-turn can fix a nontrivial pair of squares

解答：

在恒等旋转下，所有 $\binom{49}{2}=1176$ 对方格都保持不变。旋转四分之一周或四分之三周时，轨道大小只能为 $1$ 或 $4$ ，所以没有由两个黄色方格组成的集合保持不变。旋转半周恰好保持关于中心对称的 $24$ 对方格不变。因此由伯恩赛德引理可得 $\frac{1176+0+24+0}{4}=300$ 种不等价配色方案。

Under the identity rotation, all $\binom{49}{2}=1176$ pairs are fixed. A quarter-turn or three-quarter-turn has only orbits of sizes $1$ and $4,$ so it fixes no two-square set. A half-turn fixes exactly the $24$ pairs of squares opposite one another across the center. Burnside’s Lemma therefore gives $\frac{1176+0+24+0}{4}=300$ inequivalent colorings.

8.

两个正数的调和平均数定义为它们倒数的算术平均数的倒数。正整数有序对 $(x,y)$ 满足 $x<y$ ，并且 $x$ 与 $y$ 的调和平均数等于 $6^{20}$ 。这样的有序对有多少个？

The harmonic mean of two positive numbers is the reciprocal of the arithmetic mean of their reciprocals. For how many ordered pairs of positive integers $(x,y),$ with $x<y,$ is the harmonic mean of $x$ and $y$ equal to $6^{20}?$

答案

知识点：调和平均数因数个数质因数分解

难度评级：2380

小提示：

令 $N=6^{20}$ ，把 $\frac{2xy}{x+y}=N$ 整理成乘积形式

For $N=6^{20},$ rearrange $\frac{2xy}{x+y}=N$ into a product

大提示：

计算 $N^2$ 的互补因数对，并要求两个因数都是偶数

Count complementary factor pairs of $N^2$ in which both factors are even

解答：

令 $N=6^{20}$ 。整理调和平均数方程可得 $(2x-N)(2y-N)=N^2\text{。}$ 由于 $x<N<y$ 且 $N<2x$ ，两个因数都是正数，并且都必须是偶数。反过来，每个满足 $AB=N^2$ 且 $A<B$ 的偶数因数分解，都通过 $x=\frac{A+N}{2}$ 和 $y=\frac{B+N}{2}$ 给出一个有效的有序对。

现在 $N^2=2^{40}3^{40}$ 。为了使两个互补因数都是偶数，对于素数 $2$ ，它在 $A$ 中的指数可取 $1,\ldots,39$ ；而对于素数 $3$ ，相应指数可取 $0,\ldots,40$ 。这给出 $39\cdot41=1599$ 个因数 $A$ ，其中包括中心因数 $A=N$ 。将互补因数配对并排除中心情形，得到 $\frac{1599-1}{2}=799$ 。

Let $N=6^{20}.$ Rearranging the harmonic-mean equation gives $(2x-N)(2y-N)=N^2.$ Because $x<N<y$ and $N<2x,$ the two factors are positive, and both must be even. Conversely, each factorization $AB=N^2$ with even $A<B$ gives one valid pair via $x=\frac{A+N}{2}$ and $y=\frac{B+N}{2}.$

Now $N^2=2^{40}3^{40}.$ For both complementary factors to be even, the exponent of $2$ in $A$ can be $1,\ldots,39,$ while the exponent of $3$ can be $0,\ldots,40.$ This gives $39\cdot41=1599$ divisors $A,$ including the central factor $A=N.$ Pairing complementary divisors and excluding that central case gives $\frac{1599-1}{2}=799.$

9.

一名无聊的学生沿着一条走廊行走，走廊里有一排编号为 $1$ 到 $1024$ 的关闭储物柜。他打开 $1$ 号柜，此后在仍关闭的储物柜中交替跳过一个、打开一个。走到走廊尽头后，他转身往回走。他打开遇到的第一个关闭储物柜，此后又在仍关闭的储物柜中交替跳过一个、打开一个。学生按这种方式来回行走，直到所有储物柜都打开。最后打开的储物柜编号是多少？

A bored student walks down a hall that contains a row of closed lockers, numbered $1$ to $1024.$ He opens locker $1,$ and then alternates between skipping and opening each closed locker thereafter. When he reaches the end of the hall, the student turns around and starts back. He opens the first closed locker he encounters, and then alternates between skipping and opening each closed locker thereafter. The student continues wandering back and forth in this manner until every locker is open. What is the number of the last locker he opens?

答案

知识点：过程模拟找规律等差数列

难度评级：2270

小提示：

每次走完后，仍关闭的储物柜编号构成一个等差数列

After each trip, the still-closed lockers form an arithmetic sequence

大提示：

每次走完后，只记录首项、公差和项数

Record only the first term, common difference, and number of terms after each trip

解答：

每次行走时，学生都会按照当前行走方向，在剩余储物柜中打开第一个、第三个、第五个，依此类推。追踪每次走完后仍关闭的等差数列，得到：

次数	首项	公差	项数
$1$	$2$	$2$	$512$
$2$	$2$	$4$	$256$
$3$	$6$	$8$	$128$
$4$	$6$	$16$	$64$
$5$	$22$	$32$	$32$
$6$	$22$	$64$	$16$
$7$	$86$	$128$	$8$
$8$	$86$	$256$	$4$
$9$	$342$	$512$	$2$

因此第九次走完后，只剩下 $342$ 号柜和 $854$ 号柜仍关闭。第十次从右侧出发时，先打开 $854$ 号柜，而 $342$ 号柜保留下来。所以最后打开的是 $342$ 号柜。

On every trip the student opens the first, third, fifth, and so on among the remaining lockers in his direction of travel. Tracking the closed arithmetic sequence after each trip gives:

trip	first	difference	count
$1$	$2$	$2$	$512$
$2$	$2$	$4$	$256$
$3$	$6$	$8$	$128$
$4$	$6$	$16$	$64$
$5$	$22$	$32$	$32$
$6$	$22$	$64$	$16$
$7$	$86$	$128$	$8$
$8$	$86$	$256$	$4$
$9$	$342$	$512$	$2$

Thus only lockers $342$ and $854$ remain after the ninth trip. On the tenth trip, starting from the right, locker $854$ is opened and $342$ remains. Therefore the last locker opened is $342.$

10.

求下列方程的最小正整数解： $\tan(19x^\circ)=\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}\text{。}$

Find the smallest positive integer solution to $\tan(19x^\circ)=\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}.$

答案

知识点：三角恒等式模运算一次方程

难度评级：1900

小提示：

用正切加法公式识别方程右边的表达式

Recognize the right-hand side using the tangent addition formula

大提示：

对模 $180$ 的同余方程求解

Solve the resulting congruence modulo $180$

解答：

由正切加法公式， $\begin{gathered}\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}\\=\tan(45^\circ+96^\circ)\\=\tan141^\circ\end{gathered}\text{。}$ 因此 $19x\equiv141\pmod {180}$ 。由于 $19^2=361\equiv1\pmod {180}$ ，两边乘以 $19$ ，得到 $x\equiv19\cdot141\equiv159\pmod {180}\text{。}$ 最小正整数解为 $159$ 。

The tangent addition formula gives $\begin{gathered}\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}\\=\tan(45^\circ+96^\circ)\\=\tan141^\circ.\end{gathered}$ Hence $19x\equiv141\pmod {180}.$ Since $19^2=361\equiv1\pmod {180},$ multiplying by $19$ gives $x\equiv19\cdot141\equiv159\pmod {180}.$ The smallest positive solution is $159.$

11.

设 $P$ 为方程 $z^6+z^4+z^3+z^2+1=0$ 的所有虚部为正的根之积，并设 $P=r(\cos\theta^\circ+i\sin\theta^\circ)$ ，其中 $r>0$ ，且 $0\leq\theta<360$ 。求 $\theta$ 。

Let $P$ be the product of the roots of $z^6+z^4+z^3+z^2+1=0$ that have positive imaginary part, and suppose that $P=r(\cos\theta^\circ+i\sin\theta^\circ),$ where $r>0$ and $0\leq\theta<360.$ Find $\theta.$

答案

知识点：复数单位根因式分解

难度评级：2270

小提示：

除以 $z^3$ ，并令 $w=z+z^{-1}$

Divide by $z^3$ and set $w=z+z^{-1}$

大提示：

将所得关于 $w$ 的三次式因式分解，并把每个值识别为 $2\cos\phi$

Factor the resulting cubic in $w$ and identify each value as $2\cos\phi$

解答：

没有根为零。除以 $z^3$ ，并令 $w=z+z^{-1}$ ，得到 $\begin{aligned}w^3-2w+1&=0,\\{}(w-1)(w^2+w-1)&=0\end{aligned}\text{。}$ 它的三个根为 $\begin{aligned}1&=2\cos60^\circ,\\\frac{\sqrt5-1}{2}&=2\cos72^\circ,\\-\frac{1+\sqrt5}{2}&=2\cos144^\circ\end{aligned}\text{。}$ 对于每个 $w=2\cos\phi$ ，原方程的对应根为 $e^{i\phi}$ 和 $e^{-i\phi}$ 。因此虚部为正的三个根的辐角分别为 $60^\circ$ 、 $72^\circ$ 和 $144^\circ$ 。它们的乘积的辐角为 $60+72+144=276^\circ$ ，所以 $\theta=276$ 。

No root is zero. Dividing by $z^3$ and setting $w=z+z^{-1}$ gives $\begin{aligned}w^3-2w+1&=0,\\{}(w-1)(w^2+w-1)&=0.\end{aligned}$ Its three roots are $\begin{aligned}1&=2\cos60^\circ,\\\frac{\sqrt5-1}{2}&=2\cos72^\circ,\\-\frac{1+\sqrt5}{2}&=2\cos144^\circ.\end{aligned}$ For each value $w=2\cos\phi,$ the corresponding roots of the original equation are $e^{i\phi}$ and $e^{-i\phi}.$ Thus the roots with positive imaginary part have arguments $60^\circ,$ $72^\circ,$ and $144^\circ.$ Their product has argument $60+72+144=276^\circ,$ so $\theta=276.$

12.

将整数 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $\ldots$ 、 $10$ 的每个排列记为 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $\ldots$ 、 $a_{10}$ ，并构造和 $\begin{gathered}|a_1-a_2|+|a_3-a_4|\\+|a_5-a_6|+|a_7-a_8|\\+|a_9-a_{10}|\end{gathered}\text{。}$ 所有这些和的平均值可写成 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。求 $p+q$ 。

For each permutation $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots,$ $a_{10}$ of the integers $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $10,$ form the sum $\begin{gathered}|a_1-a_2|+|a_3-a_4|\\+|a_5-a_6|+|a_7-a_8|\\+|a_9-a_{10}|.\end{gathered}$ The average value of all such sums can be written in the form $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p+q.$

答案

知识点：期望值 linearity of expectation 数对计数

难度评级：1850

小提示：

五个绝对值差具有相同的平均值

Each of the five absolute differences has the same average

大提示：

对随机选取的无序数对，差为 $d$ 的数对有 $10-d$ 个

For a random unordered pair, difference $d$ occurs $10-d$ times

解答：

每一对的差都与从 $1,\ldots,10$ 中均匀选取一个无序数对所得差具有相同的期望。因此 $\begin{aligned}\mathbb E|a_1-a_2|&=\frac{\sum_{d=1}^9d(10-d)}{\binom{10}{2}}\\&=\frac{10\sum_{d=1}^9d}{45}\\&\quad-\frac{\sum_{d=1}^9d^2}{45}\\&=\frac{450-285}{45}=\frac{11}{3}\end{aligned}\text{。}$ 由期望的线性性质，五项和的平均值为 $\frac{5\cdot11}{3}=\frac{55}{3}$ 。所以 $p+q=58$ 。

Each paired difference has the same expected value as the difference of a uniformly selected unordered pair from $1,\ldots,10.$ Therefore $\begin{aligned}\mathbb E|a_1-a_2|&=\frac{\sum_{d=1}^9d(10-d)}{\binom{10}{2}}\\&=\frac{10\sum_{d=1}^9d}{45}\\&\quad-\frac{\sum_{d=1}^9d^2}{45}\\&=\frac{450-285}{45}=\frac{11}{3}.\end{aligned}$ By linearity of expectation, the average of the five-term sum is $\frac{5\cdot11}{3}=\frac{55}{3}.$ Thus $p+q=58.$

13.

在三角形 $ABC$ 中， $AB=\sqrt{30}$ 、 $AC=\sqrt6$ ，且 $BC=\sqrt{15}$ 。存在一点 $D$ ，使得 $\overline{AD}$ 平分 $\overline{BC}$ ，并且 $\angle ADB$ 是直角。比值 $\frac{\operatorname{Area}(\triangle ADB)}{\operatorname{Area}(\triangle ABC)}$ 可写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m+n$ 。

In triangle $ABC,$ $AB=\sqrt{30},$ $AC=\sqrt6,$ and $BC=\sqrt{15}.$ There is a point $D$ for which $\overline{AD}$ bisects $\overline{BC},$ and $\angle ADB$ is a right angle. The ratio $\frac{\operatorname{Area}(\triangle ADB)}{\operatorname{Area}(\triangle ABC)}$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$

答案

知识点：中线（几何）面积比勾股定理

难度评级：2380

小提示：

令 $E$ 为 $\overline{BC}$ 的中点，则 $A$ 、 $E$ 和 $D$ 共线

Let $E$ be the midpoint of $\overline{BC},$ so $A,$ $E,$ and $D$ are collinear

大提示：

用中线公式求 $AE$ ，再比较两个共有 $BD$ 的直角三角形

Find $AE$ with the median formula, then compare two right triangles sharing $BD$

解答：

令 $E$ 为 $\overline{BC}$ 的中点。于是 $A$ 、 $E$ 和 $D$ 共线。由中线公式， $\begin{aligned}AE^2&=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}\\&=\frac{57}{4}\end{aligned}\text{。}$ 由于 $AB^2>AE^2+BE^2$ ， $AEB$ 角为钝角，所以垂足 $D$ 位于 $E$ 的外侧。 $\triangle ABD$ 和 $\triangle EBD$ 都在 $D$ 处为直角。因此 $\begin{gathered}AB^2-BE^2\\=(AE+DE)^2-DE^2\\=AE^2+2AE\cdot DE\end{gathered}\text{。}$ 代入可得 $30-\frac{15}{4}=\frac{57}{4}+2AE\cdot DE$ ，所以 $\frac{DE}{AE}=\frac{8}{19}$ 。

三角形 $ABE$ 和 $DBE$ 的底边 $AE$ 与 $DE$ 在同一直线上，并且共用从 $B$ 引出的高；同时 $[ABC]=2[ABE]$ 。因此 $\begin{aligned}\frac{[ADB]}{[ABC]}&=\frac{[ABE]+[DBE]}{2[ABE]}\\&=\frac12\left(1+\frac8{19}\right)\\&=\frac{27}{38}\end{aligned}\text{。}$ 所以 $m+n=65$ 。

Let $E$ be the midpoint of $\overline{BC}.$ Then $A,$ $E,$ and $D$ are collinear. The median formula gives $\begin{aligned}AE^2&=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}\\&=\frac{57}{4}.\end{aligned}$ Since $AB^2>AE^2+BE^2,$ angle $AEB$ is obtuse, so the perpendicular foot $D$ lies beyond $E.$ Both $\triangle ABD$ and $\triangle EBD$ are right at $D.$ Therefore $\begin{gathered}AB^2-BE^2\\=(AE+DE)^2-DE^2\\=AE^2+2AE\cdot DE.\end{gathered}$ Substitution gives $30-\frac{15}{4}=\frac{57}{4}+2AE\cdot DE,$ so $\frac{DE}{AE}=\frac{8}{19}.$

Triangles $ABE$ and $DBE$ have bases $AE$ and $DE$ on the same line and share the altitude from $B,$ while $[ABC]=2[ABE].$ Hence $\begin{aligned}\frac{[ADB]}{[ABC]}&=\frac{[ABE]+[DBE]}{2[ABE]}\\&=\frac12\left(1+\frac8{19}\right)\\&=\frac{27}{38}.\end{aligned}$ Thus $m+n=65.$

14.

一个 $150\times324\times375$ 的长方体由 $1\times1\times1$ 的小正方体粘合而成。这个长方体的一条体对角线穿过多少个 $1\times1\times1$ 小正方体的内部？

A $150\times324\times375$ rectangular solid is made by gluing together $1\times1\times1$ cubes. An internal diagonal of this solid passes through the interiors of how many of the $1\times1\times1$ cubes?

答案

知识点：长方体容斥原理最大公约数

难度评级：2270

小提示：

计算体对角线穿过各坐标网格平面的次数

Count the coordinate-plane crossings of the space diagonal

大提示：

用最大公约数修正同时穿过两个或三个网格平面的情形

Correct for crossings of two or three grid planes at once using greatest common divisors

解答：

对于一个 $a\times b\times c$ 的方块阵列，对角线分别穿过三个方向上的 $a-1$ 、 $b-1$ 和 $c-1$ 个内部网格平面。两个方向的穿越分别有 $\gcd(a,b)-1$ 、 $\gcd(a,c)-1$ 和 $\gcd(b,c)-1$ 次重合，而三个方向的穿越有 $\gcd(a,b,c)-1$ 次重合。加上起始小正方体，再使用容斥原理，得到 $\begin{gathered}a+b+c-\gcd(a,b)\\-\gcd(a,c)-\gcd(b,c)\\+\gcd(a,b,c)\end{gathered}\text{。}$ 三个两两最大公约数分别为 $6$ 、 $75$ 和 $3$ ，三者的最大公约数为 $3$ 。因此对角线穿过内部的小正方体个数为 $\begin{gathered}150+324+375\\-6-75-3+3=768\end{gathered}\text{。}$

For an $a\times b\times c$ array, the diagonal crosses $a-1,$ $b-1,$ and $c-1$ internal grid planes of the three orientations. Crossings of two orientations coincide $\gcd(a,b)-1,$ $\gcd(a,c)-1,$ and $\gcd(b,c)-1$ times, and triple crossings occur $\gcd(a,b,c)-1$ times. Adding one for the initial cube and applying inclusion-exclusion gives $\begin{gathered}a+b+c-\gcd(a,b)\\-\gcd(a,c)-\gcd(b,c)\\+\gcd(a,b,c).\end{gathered}$ Here the pairwise gcds are $6,$ $75,$ and $3,$ and the triple gcd is $3.$ Thus the number of cube interiors met is $\begin{gathered}150+324+375\\-6-75-3+3=768.\end{gathered}$

15.

在平行四边形 $ABCD$ 中，设 $O$ 为对角线 $\overline{AC}$ 与 $\overline{BD}$ 的交点。 $CAB$ 角和 $DBC$ 角都是 $DBA$ 角的两倍，而 $ACB$ 角的大小为 $r$ 乘以 $AOB$ 角的大小。求不超过 $1000r$ 的最大整数。

In parallelogram $ABCD,$ let $O$ be the intersection of diagonals $\overline{AC}$ and $\overline{BD}.$ Angles $CAB$ and $DBC$ are each twice as large as angle $DBA,$ and angle $ACB$ is $r$ times as large as angle $AOB.$ Find the greatest integer that does not exceed $1000r.$

答案

知识点：平行四边形正弦定理三角恒等式

难度评级：2560

小提示：

令 $\angle DBA=\alpha$ ，并比较三角形 $ABC$ 和 $ABD$

Set $\angle DBA=\alpha$ and compare triangles $ABC$ and $ABD$

大提示：

使用正弦定理，得到一个含 $\sin5\alpha$ 、 $\sin2\alpha$ 和 $\sin\alpha$ 的方程

Use the law of sines to obtain an equation involving $\sin5\alpha,$ $\sin2\alpha,$ and $\sin\alpha$

解答：

令 $\angle DBA=\alpha$ 。则 $\angle DBC=\angle CAB=2\alpha$ ，所以 $\triangle ABC$ 的三个角为 $2\alpha$ 、 $3\alpha$ 和 $180^\circ-5\alpha$ 。由于 $AD\parallel BC$ ，三角形 $ABD$ 的三个角为 $\alpha$ 、 $2\alpha$ 和 $180^\circ-3\alpha$ 。

在两个三角形中应用正弦定理，并利用 $AD=BC$ ，得到 $\frac{AB}{BC}=\frac{\sin5\alpha}{\sin2\alpha}=\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha}\text{。}$ 令 $u=\cos^2\alpha$ ，方程化为 $16u^2-16u+1=0\text{。}$ 由于 $5\alpha<180^\circ$ ，符合条件的根是 $u=\frac{2+\sqrt3}{4}=\cos^2 15^\circ$ ，所以 $\alpha=15^\circ$ 。因此 $\angle ACB=105^\circ$ 。在 $\triangle AOB$ 中，位于 $A$ 和 $B$ 的两个角分别为 $30^\circ$ 和 $15^\circ$ ，所以 $\angle AOB=135^\circ$ 。因此 $\begin{aligned}r&=\frac{105}{135}=\frac79,\\\left\lfloor1000r\right\rfloor&=777\end{aligned}\text{。}$

Let $\angle DBA=\alpha.$ Then $\angle DBC=\angle CAB=2\alpha,$ so in $\triangle ABC$ the angles are $2\alpha,$ $3\alpha,$ and $180^\circ-5\alpha.$ Because $AD\parallel BC,$ triangle $ABD$ has angles $\alpha,$ $2\alpha,$ and $180^\circ-3\alpha.$

Applying the law of sines in the two triangles and using $AD=BC$ gives $\frac{AB}{BC}=\frac{\sin5\alpha}{\sin2\alpha}=\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha}.$ With $u=\cos^2\alpha,$ this becomes $16u^2-16u+1=0.$ Since $5\alpha<180^\circ,$ the valid root is $u=\frac{2+\sqrt3}{4}=\cos^2 15^\circ,$ so $\alpha=15^\circ.$ Thus $\angle ACB=105^\circ.$ In $\triangle AOB,$ the angles at $A$ and $B$ are $30^\circ$ and $15^\circ,$ so $\angle AOB=135^\circ.$ Therefore $\begin{aligned}r&=\frac{105}{135}=\frac79,\\\left\lfloor1000r\right\rfloor&=777.\end{aligned}$