Question

求满足 $a + b + c = 300$ 且满足下式的非负整数三元组 $(a, b, c)$ 的个数。 $\begin{aligned} &a^2 b + a^2 c \\ &\quad {}+ b^2 a + b^2 c \\ &\quad {}+ c^2 a + c^2 b = 6{,}000{,}000 \end{aligned}\text{。}$

Find the number of triples of nonnegative integers $(a, b, c)$ satisfying $a + b + c = 300$ and $\begin{aligned} &a^2 b + a^2 c \\ &\quad {}+ b^2 a + b^2 c \\ &\quad {}+ c^2 a + c^2 b = 6{,}000{,}000. \end{aligned}$

答案

答案：601

知识点：丢番图方程因式分解对称性（代数）

难度评级：3060

小提示：

当 $a + b + c = 300$ 时，题中给出的和等于 $300(ab + bc + ca) - 3abc$

With $a + b + c = 300,$ the given sum equals $300(ab + bc + ca) - 3abc$

大提示：

利用 $a + b + c = 300$ ：展开 $(100 - a)(100 - b)(100 - c)$ ：条件恰好说明这个乘积为零

Expand $(100 - a)(100 - b)(100 - c)$ using $a + b + c = 300:$ the condition says exactly that this product vanishes

解答：

左边是对称和 $(a + b + c)(ab + bc + ca)$ $- 3abc = 300q - 3p$ ，其中 $q = ab + bc + ca$ ， $p = abc$ 。所以条件为 $100q - p = 2{,}000{,}000$ 。现在展开 $\begin{gathered} (100 - a)(100 - b)(100 - c) \\ = 10^6 - 10^4 (a + b + c) \\ \quad {}+ 100q - p \\ = (100q - p) - 2 \cdot 10^6 \end{gathered}\text{，}$ 其中使用了 $a + b + c = 300$ 。条件成立当且仅当这个乘积为 $0$ ，也就是 $a, b, c$ 中至少一个等于 $100$ 。

若 $a = 100$ ，则 $b + c = 200$ ，给出 $201$ 个三元组； $b$ 和 $c$ 的情况同理。 $3 \cdot 201 = 603$ 中被重复计数的三元组有两个变量等于 $100$ ，这会迫使第三个变量也为 $100$ ；三元组 $(100, 100, 100)$ 被计数三次，所以总数为 $603 - 2 = 601$ 。

The left side is the symmetric sum $(a + b + c)(ab + bc + ca)$ $- 3abc = 300q - 3p,$ where $q = ab + bc + ca$ and $p = abc.$ So the condition is $100q - p = 2{,}000{,}000.$ Now expand $\begin{gathered} (100 - a)(100 - b)(100 - c) \\ = 10^6 - 10^4 (a + b + c) \\ \quad {}+ 100q - p \\ = (100q - p) - 2 \cdot 10^6, \end{gathered}$ using $a + b + c = 300.$ The condition holds exactly when this product is $0,$ that is, when at least one of $a, b, c$ equals $100.$

If $a = 100,$ then $b + c = 200,$ giving $201$ triples, and likewise for $b$ and $c:$ $3 \cdot 201 = 603.$ A triple counted more than once has two variables equal to $100,$ which forces the third to be $100$ as well; the triple $(100, 100, 100)$ is counted three times, so the total is $603 - 2 = 601.$

2024 AIME II 第 11 题

答案：601

难度评级：3060

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