Question

设 $\triangle ABC$ 的内心为 $I$ ，外心为 $O$ ，内切圆半径为 $6$ ，外接圆半径为 $13$ 。假设 $\overline{IA} \perp \overline{OI}$ 。求 $AB \cdot AC$ 。

Let $\triangle ABC$ have incenter $I,$ circumcenter $O,$ inradius $6,$ and circumradius $13.$ Suppose that $\overline{IA} \perp \overline{OI}.$ Find $AB \cdot AC.$

答案

答案：468

知识点：内切圆、内心与内切圆半径外接圆、外心与外接圆半径三角学

难度评级：3060

小提示：

直角给出 $IA^2 = R^2 - OI^2$ ，而欧拉公式 $OI^2 = R^2 - 2Rr$ 会把它化为 $IA^2 = 2Rr$

The right angle gives $IA^2 = R^2 - OI^2,$ and Euler’s formula $OI^2 = R^2 - 2Rr$ turns this into $IA^2 = 2Rr$

大提示：

将 $IA = \frac{r}{\sin(\frac{A}{2})}$ 与 $s - a = r \cot\frac{A}{2}$ 、 $a = 2R \sin A$ 、以及 $rs = \frac{1}{2} bc \sin A$ 结合

Combine $IA = \frac{r}{\sin(\frac{A}{2})}$ with $s - a = r \cot\frac{A}{2},$ $a = 2R \sin A,$ and $rs = \frac{1}{2} bc \sin A$

解答：

因为 $\angle OIA = 90^\circ$ ，在三角形 $OIA$ 中用勾股定理得 $IA^2 = OA^2 - OI^2 = R^2 - OI^2$ ，而欧拉公式 $OI^2 = R^2 - 2Rr$ 给出 $IA^2 = 2Rr = 2 \cdot 13 \cdot 6 = 156\text{。}$ 再与 $IA = \frac{r}{\sin(\frac{A}{2})}$ 结合，得到 $\sin^2\frac{A}{2} = \frac{36}{156} = \frac{3}{13}$ ，所以 $\cos^2\frac{A}{2} = \frac{10}{13}$ 。

于是 $\sin A = 2 \sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2} = \frac{2\sqrt{30}}{13}$ ，所以 $a = BC = 2R \sin A = 4\sqrt{30}$ ，而 $s - a = r \cot\frac{A}{2} = 6\sqrt{\frac{10}{3}}$ $= 2\sqrt{30}$ 。因此半周长为 $s = 6\sqrt{30}$ 。

令两个面积公式 $[ABC] = rs = \frac{1}{2}\, bc \sin A$ 相等，得到 $\begin{aligned} bc = \frac{2rs}{\sin A} &= \frac{2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{30}}{\frac{2\sqrt{30}}{13}} \\ &= 36 \cdot 13 = 468 \end{aligned}\text{。}$

Since $\angle OIA = 90^\circ,$ the Pythagorean theorem in triangle $OIA$ gives $IA^2 = OA^2 - OI^2 = R^2 - OI^2,$ and Euler’s formula $OI^2 = R^2 - 2Rr$ yields $IA^2 = 2Rr = 2 \cdot 13 \cdot 6 = 156.$ Combining with $IA = \frac{r}{\sin(\frac{A}{2})}$ gives $\sin^2\frac{A}{2} = \frac{36}{156} = \frac{3}{13},$ so $\cos^2\frac{A}{2} = \frac{10}{13}.$

Then $\sin A = 2 \sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2} = \frac{2\sqrt{30}}{13},$ so $a = BC = 2R \sin A = 4\sqrt{30},$ while $s - a = r \cot\frac{A}{2} = 6\sqrt{\frac{10}{3}}$ $= 2\sqrt{30}.$ Hence the semiperimeter is $s = 6\sqrt{30}.$

Equating the two area formulas $[ABC] = rs = \frac{1}{2}\, bc \sin A,$ $\begin{aligned} bc = \frac{2rs}{\sin A} &= \frac{2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{30}}{\frac{2\sqrt{30}}{13}} \\ &= 36 \cdot 13 = 468. \end{aligned}$

2024 AIME II 第 10 题

答案：468

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