Question

存在非零整数

a

、

b

、

r

、

s

，使复数

r + si

是多项式

P(x) = x^3 - ax^2 + bx - 65

的一个零点。对每一种可能的

a

与

b

的组合，令

p_{a,b}

为

P(x)

的所有零点之和。求所有可能的

a

、

b

组合对应的

p_{a,b}

之和。

There are nonzero integers

a,

b,

r,

and

s

such that the complex number

r + si

is a zero of the polynomial

P(x) = x^3 - ax^2 + bx - 65.

For each possible combination of

a

and

b,

let

p_{a,b}

be the sum of the zeros of

P(x).

Find the sum of the

p_{a,b}

’s for all possible combinations of

a

and

b.

答案

答案：80

知识点：多项式复数韦达定理

难度评级：2710

小提示：

实系数迫使零点为

r \pm si

和一个实数

q

，且

q(r^2 + s^2) = 65

。

Real coefficients force the zeros to be

r \pm si

and a real

q

with

q(r^2 + s^2) = 65

大提示：

列出

65

的因数中可写成两个非零平方数之和的情况；对每种情况，

\pm r

的选择在求和时抵消，只留下对应的

q

。

List the ways a factor of

65

is a sum of two nonzero squares; for each, the choices

\pm r

cancel in the sum, leaving only the

q

’s

解答：

因为

P

的系数为实数，

r - si

也是一个零点，第三个零点

q

为实数。零点之和为

q + 2r = a

，所以

q = a - 2r

是非零整数。零点之积为

q(r^2 + s^2) = 65

，所以

r^2 + s^2

是

65

的因数。由于

r

、

s

均非零，可能情况为

r^2 + s^2 = 5 = 1^2 + 2^2

（此时

q = 13

）、

13 = 2^2 + 3^2

（此时

q = 5

），以及

65 = 1^2 + 8^2 = 4^2 + 7^2

（此时

q = 1

）。

对于每一种表示

\{u, v\}

，零点

r + si

可以有

r = \pm u

或

\pm v

，给出

4

个不同多项式（

s

的符号不影响多项式）。零点之和为

p_{a,b} = q + 2r

，四种选择中的

2r

项相互抵消，每种表示留下

4q

。

总和为

4 \cdot 13 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 80

。

Since

P

has real coefficients,

r - si

is also a zero, and the third zero

q

is real. The sum of the zeros is

q + 2r = a,

so

q = a - 2r

is a nonzero integer. Their product is

q(r^2 + s^2) = 65,

so

r^2 + s^2

is a factor of

65.

With

r

and

s

nonzero, the possibilities are

r^2 + s^2 = 5 = 1^2 + 2^2

(with

q = 13

),

13 = 2^2 + 3^2

(with

q = 5

), and

65 = 1^2 + 8^2 = 4^2 + 7^2

(with

q = 1

).

For each representation

\{u, v\},

the zero

r + si

can have

r = \pm u

or

\pm v,

giving

4

distinct polynomials (the sign of

s

changes nothing). The sum of the zeros is

p_{a,b} = q + 2r,

and over the four choices the

2r

terms cancel, leaving

4q

from each representation.

The total is

4 \cdot 13 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 80.

2013 AIME I 第 10 题

答案：80

难度评级：2710

小提示：

大提示：

解答：

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