Question

三角形 $ABC$ 是等腰三角形， $AC = BC$ ，且 $\angle ACB = 106^\circ$ 。点 $M$ 在三角形内部，满足 $\angle MAC = 7^\circ$ 且 $\angle MCA = 23^\circ$ 。求 $\angle CMB$ 的度数。

Triangle $ABC$ is isosceles with $AC = BC$ and $\angle ACB = 106^\circ.$ Point $M$ is in the interior of the triangle so that $\angle MAC = 7^\circ$ and $\angle MCA = 23^\circ.$ Find the number of degrees in $\angle CMB.$

答案

答案：83

知识点：正弦定理余弦定理等腰三角形

难度评级：2920

小提示：

底角为 $37^\circ$ 。在三角形 $AMC$ 中，取 $AC = 1$ ，由正弦定理可得 $CM = 2\sin 7^\circ$ 。

The base angles are $37^\circ.$ In triangle $AMC,$ the Law of Sines with $AC = 1$ gives $CM = 2\sin 7^\circ.$

大提示：

在三角形 $BMC$ 中使用余弦定理，并利用 $\angle MCB$ 的余弦等于 $\sin 7^\circ$ 可证明 $MB = CB$ 。

Apply the Law of Cosines in triangle $BMC,$ using the fact that the cosine of $\angle MCB$ equals $\sin 7^\circ,$ to show $MB = CB$

解答：

设 $AC = BC = 1$ 。在三角形 $AMC$ 中， $A$ 与 $C$ 处的角分别为 $7^\circ$ 和 $23^\circ$ ，所以 $\angle AMC = 150^\circ$ ，由正弦定理得 $CM = \frac{\sin 7^\circ}{\sin 150^\circ} = 2\sin 7^\circ\text{。}$

又 $\angle MCB = 106^\circ - 23^\circ = 83^\circ$ ，其余弦为 $\sin 7^\circ$ 。在三角形 $BMC$ 中用余弦定理： $\begin{aligned} MB^2 &= CM^2 + CB^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot CM \cdot CB \cos 83^\circ \\ &= 4\sin^2 7^\circ + 1 \\ &\quad {}- 4\sin^2 7^\circ = 1 \end{aligned}\text{。}$

因此 $MB = 1 = CB$ ，三角形 $BMC$ 为等腰三角形， $\angle CMB = \angle MCB = 83^\circ$ 。答案是 $83$ 。

Assume $AC = BC = 1.$ In triangle $AMC,$ the angles at $A$ and $C$ are $7^\circ$ and $23^\circ,$ so $\angle AMC = 150^\circ,$ and the Law of Sines gives $CM = \frac{\sin 7^\circ}{\sin 150^\circ} = 2\sin 7^\circ.$

Also $\angle MCB = 106^\circ - 23^\circ = 83^\circ,$ whose cosine is $\sin 7^\circ.$ The Law of Cosines in triangle $BMC$ then gives $\begin{aligned} MB^2 &= CM^2 + CB^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot CM \cdot CB \cos 83^\circ \\ &= 4\sin^2 7^\circ + 1 \\ &\quad {}- 4\sin^2 7^\circ = 1. \end{aligned}$

So $MB = 1 = CB,$ making triangle $BMC$ isosceles with $\angle CMB = \angle MCB = 83^\circ.$ The answer is $83.$

2003 AIME I 第 10 题

答案：83

难度评级：2920

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解答：

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