Question

长方形 $ABCD$ 的边长为 $AB = 84$ 和 $AD = 42$ 。点 $M$ 是 $\overline{AD}$ 的中点，点 $N$ 是 $\overline{AB}$ 上靠近 $A$ 的三等分点，点 $O$ 是 $\overline{CM}$ 和 $\overline{DN}$ 的交点。点 $P$ 位于四边形 $BCON$ 上，且 $\overline{BP}$ 平分 $BCON$ 的面积。求 $\triangle CDP$ 的面积。

Rectangle $ABCD$ has side lengths $AB = 84$ and $AD = 42.$ Point $M$ is the midpoint of $\overline{AD},$ point $N$ is the trisection point of $\overline{AB}$ closer to $A,$ and point $O$ is the intersection of $\overline{CM}$ and $\overline{DN}.$ Point $P$ lies on the quadrilateral $BCON,$ and $\overline{BP}$ bisects the area of $BCON.$ Find the area of $\triangle CDP.$

答案

答案：546

知识点：坐标几何鞋带公式三角形面积

难度评级：2920

小提示：

使用坐标 $A(0,0)$ ， $B(84,0)$ ， $C(84,42)$ ， $D(0,42)$ ；直线 $CM$ 与 $DN$ 交于 $O(12, 24)$

Use coordinates $A(0,0),$ $B(84,0),$ $C(84,42),$ $D(0,42);$ the lines $CM$ and $DN$ meet at $O(12, 24)$

大提示：

$[BCON] = 2184$ ，而 $[BCO] = 1512$ ，所以 $P$ 位于 $\overline{CO}$ 上；令它满足 $[BPC] = 1092$

$[BCON] = 2184$ while $[BCO] = 1512,$ so $P$ lies on $\overline{CO};$ place it so that $[BPC] = 1092$

解答：

取 $A = (0, 0)$ ， $B = (84, 0)$ ， $C = (84, 42)$ ， $D = (0, 42)$ ，于是 $M = (0, 21)$ ， $N = (28, 0)$ 。直线 $CM$ 为 $y = \frac{x}{4} + 21$ ，直线 $DN$ 为 $y = 42 - \frac{3x}{2}$ ，两者交于 $O = (12, 24)$ 。

由鞋带公式，四边形 $BCON$ 的面积为 $2184$ ，所以每一半面积为 $1092$ 。单独的三角形 $BCO$ 面积为 $\frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 72 = 1512 \gt 1092$ （底边为 $\overline{BC}$ ，且 $O$ 到它的水平距离为 $72$ ），所以平分面积的线段终点 $P$ 在 $\overline{CO}$ 上。若 $[BPC] = 1092$ ，则 $P$ 到直线 $BC$ 的距离 $d$ 满足 $\frac{1}{2} \cdot 42 \cdot d = 1092$ ，所以 $d = 52$ ，从而 $P$ 的 $x$ -坐标为 $84 - 52 = 32$ 。因为 $P$ 位于直线 $CO$ 上，而该直线的方程为 $y = \frac{x}{4} + 21$ ，所以 $P = (32, 29)$ 。

三角形 $CDP$ 的底 $CD = 84$ 在直线 $y = 42$ 上，高为 $42 - 29 = 13$ ，所以面积为 $\frac{1}{2} \cdot 84 \cdot 13 = 546$ 。

Place $A = (0, 0),$ $B = (84, 0),$ $C = (84, 42),$ $D = (0, 42),$ so $M = (0, 21)$ and $N = (28, 0).$ Line $CM$ is $y = \frac{x}{4} + 21$ and line $DN$ is $y = 42 - \frac{3x}{2},$ which meet at $O = (12, 24).$

By the Shoelace Formula, quadrilateral $BCON$ has area $2184,$ so each half must have area $1092.$ Triangle $BCO$ alone has area $\frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 72 = 1512 \gt 1092$ (base $\overline{BC},$ and $O$ is at horizontal distance $72$ from it), so the bisecting segment ends at a point $P$ on $\overline{CO}.$ For $[BPC] = 1092,$ the distance $d$ from $P$ to line $BC$ must satisfy $\frac{1}{2} \cdot 42 \cdot d = 1092,$ so $d = 52,$ giving $P$ the $x$ -coordinate $84 - 52 = 32.$ Since $P$ lies on line $CO,$ which is $y = \frac{x}{4} + 21,$ we get $P = (32, 29).$

Triangle $CDP$ has base $CD = 84$ on the line $y = 42$ and height $42 - 29 = 13,$ so its area is $\frac{1}{2} \cdot 84 \cdot 13 = 546.$

2017 AIME II 第 10 题

答案：546

难度评级：2920

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