Question

在三角形 $ABC$ 中，角 $C$ 为直角，从 $C$ 作出的高与 $\overline{AB}$ 交于 $D$ 。 $\triangle ABC$ 的三条边长均为整数， $BD=29^3$ ，且 $\cos B=\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m+n$ 。

In triangle $ABC,$ angle $C$ is a right angle and the altitude from $C$ meets $\overline{AB}$ at $D.$ The lengths of the sides of $\triangle ABC$ are integers, $BD=29^3,$ and $\cos B=\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$

答案

答案：450

知识点：高线勾股数整除性

难度评级：2270

小提示：

利用相似关系写出 $BD=\frac{BC^2}{AB}$

Use similarity to write $BD=\frac{BC^2}{AB}$

大提示：

将 $\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}$ 写成最简分数，并利用 $29^3$ 的素因数分解

Express $\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}$ in lowest terms and use the prime factorization of $29^3$

解答：

将 $\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}$ 写成最简分数，并令 $BC=km$ 、 $AB=kn$ 。由相似关系， $29^3=BD=\frac{BC^2}{AB}=\frac{km^2}{n}\text{。}$ 因此 $k$ 能被 $n$ 整除；令 $k=nt$ ，则 $tm^2=29^3$ 。若 $m=1$ ，它不可能是非退化整数直角三角形的一条直角边，所以 $m=29$ 。令本原勾股三角形的另一条直角边为 $u$ ，则 $(n-u)(n+u)=29^2$ ，由此得到 $n=421$ 和 $u=420$ 。因此 $m+n=29+421=450$ 。

Write $\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}$ in lowest terms, with $BC=km$ and $AB=kn.$ Similarity gives $29^3=BD=\frac{BC^2}{AB}=\frac{km^2}{n}.$ Hence $k$ is divisible by $n;$ writing $k=nt$ gives $tm^2=29^3.$ The possibility $m=1$ cannot be a leg of a nondegenerate integer right triangle, so $m=29.$ Writing the other leg of the primitive triple as $u,$ we have $(n-u)(n+u)=29^2,$ giving $n=421$ and $u=420.$ Therefore $m+n=29+421=450.$

1994 AIME 第 10 题

答案：450

难度评级：2270

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解答：

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