Question

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为一个三角形的三条边， $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ 分别为它们所对的角。若 $a^2+b^2=1989c^2$ ，求 $\frac{\cot\gamma}{\cot\alpha+\cot\beta}\text{。}$

Let $a,$ $b,$ $c$ be the three sides of a triangle, and let $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ be the angles opposite them. If $a^2+b^2=1989c^2,$ find $\frac{\cot\gamma}{\cot\alpha+\cot\beta}.$

答案

答案：994

知识点：余弦定理正弦定理三角恒等式

难度评级：2530

小提示：

利用 $\alpha+\beta=\pi-\gamma$ 化简 $\cot\alpha+\cot\beta$

Simplify $\cot\alpha+\cot\beta$ using $\alpha+\beta=\pi-\gamma$

大提示：

对所得的正弦因子使用正弦定理，并用余弦定理处理 $\cos\gamma$

Use the Law of Sines for the resulting sine factors and the Law of Cosines for $\cos\gamma$

解答：

首先， $\begin{aligned}\cot\alpha+\cot\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}\\&=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta}\end{aligned}\text{。}$ 因此所求比值为 $\frac{\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta}{\sin^2\gamma}=\frac{ab\cos\gamma}{c^2}\text{，}$ 最后一个等号使用了正弦定理。由余弦定理， $\begin{aligned}2ab\cos\gamma&=a^2+b^2-c^2\\&=1988c^2\end{aligned}\text{。}$ 所以该比值为 $\frac{1988}{2}=994$ 。

First, $\begin{aligned}\cot\alpha+\cot\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}\\&=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta}.\end{aligned}$ Hence the desired ratio is $\frac{\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta}{\sin^2\gamma}=\frac{ab\cos\gamma}{c^2},$ where the Law of Sines was used in the final equality. By the Law of Cosines, $\begin{aligned}2ab\cos\gamma&=a^2+b^2-c^2\\&=1988c^2.\end{aligned}$ Therefore the ratio is $\frac{1988}{2}=994.$

1989 AIME 第 10 题

答案：994

难度评级：2530

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题