Question

在复平面上，区域 $A$ 由所有满足以下条件的点 $z$ 组成： $\frac{z}{40}$ 和 $\frac{40}{\overline z}$ 的实部与虚部都在 $0$ 到 $1$ 之间（含端点）。最接近区域 $A$ 面积的整数是多少？

Consider the region $A$ in the complex plane that consists of all points $z$ such that both $\frac{z}{40}$ and $\frac{40}{\overline z}$ have real and imaginary parts between $0$ and $1,$ inclusive. What is the integer that is nearest the area of $A?$

答案

答案：572

知识点：复数圆面积容斥原理

难度评级：2650

小提示：

写成 $z=x+iy$ ；第一个条件给出一个正方形，第二个条件给出两个圆形区域对应的不等式

Write $z=x+iy$ ; the first condition gives a square, and the second gives two circle inequalities

大提示：

从 $40$ 乘 $40$ 的正方形中减去两个半圆的并集，并计入它们透镜形的重叠部分

Subtract from the $40$ -by- $40$ square the union of two semicircles, accounting for their lens-shaped overlap

解答：

写成 $z=x+iy$ 。关于 $\frac{z}{40}$ 的条件给出 $0\leq x\leq40$ 且 $0\leq y\leq40$ 。由于 $\frac{40}{\overline z}=\frac{40x}{x^2+y^2}+i\frac{40y}{x^2+y^2}\text{，}$ 另一个条件要求 $x^2+y^2\geq40x$ ，且 $x^2+y^2\geq40y$ 。因此，需要从正方形中去掉两个半径为 $20$ 的半圆。

这两个半圆的重叠部分，是由两个半径为 $20$ 、圆心相距 $20\sqrt2$ 的圆所形成的透镜形，其面积为 $200\pi-400$ 。因此，被去掉的并集面积为 $400\pi-(200\pi-400)$ ，也就是 $200\pi+400$ 。令 $K$ 表示区域 $A$ 的面积，则 $\begin{aligned}K&=1600-(200\pi+400)\\&=1200-200\pi\\&\approx571.68\end{aligned}\text{。}$ 最接近的整数是 $572$ 。

Write $z=x+iy.$ The condition on $\frac{z}{40}$ gives $0\leq x\leq40$ and $0\leq y\leq40.$ Since $\frac{40}{\overline z}=\frac{40x}{x^2+y^2}+i\frac{40y}{x^2+y^2},$ the other condition requires $x^2+y^2\geq40x$ and $x^2+y^2\geq40y.$ Thus, within the square, we remove two semicircles of radius $20.$

Their overlap is the lens formed by two radius- $20$ circles whose centers are $20\sqrt2$ apart. Its area is $200\pi-400.$ Hence the removed union has area $400\pi-(200\pi-400)$ , or $200\pi+400.$ Let $K$ denote the area of $A.$ Then $\begin{aligned}K&=1600-(200\pi+400)\\&=1200-200\pi\\&\approx571.68.\end{aligned}$ The nearest integer is $572.$

1992 AIME 第 10 题

答案：572

难度评级：2650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题