Question

在下图中，角 $ABC$ 是直角。点 $D$ 在 $\overline{BC}$ 上，且 $\overline{AD}$ 平分角 $CAB$ 。点 $E$ 和 $F$ 分别在 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 上，满足 $AE = 3$ 、 $AF = 10$ 。已知 $EB = 9$ 、 $FC = 27$ ，求最接近四边形 $DCFG$ 面积的整数。

In the diagram below, angle $ABC$ is a right angle. Point $D$ is on $\overline{BC},$ and $\overline{AD}$ bisects angle $CAB.$ Points $E$ and $F$ are on $\overline{AB}$ and $\overline{AC},$ respectively, so that $AE = 3$ and $AF = 10.$ Given that $EB = 9$ and $FC = 27,$ find the integer closest to the area of quadrilateral $DCFG.$

答案

答案：148

知识点：角平分线定理面积比勾股定理

难度评级：2720

小提示：

$AB = 12$ 、 $AC = 37$ ，所以 $BC = 35$ 且 $[ABC] = 210$ 。写成 $[DCFG] = [ADC] - [AGF]$ 。

$AB = 12$ and $AC = 37,$ so $BC = 35$ and $[ABC] = 210.$ Write $[DCFG] = [ADC] - [AGF].$

大提示：

两次使用角平分线定理：用 $BD : DC = AB : AC$ 处理三角形 $ABC$ ，再用 $EG : GF = AE : AF$ 处理三角形 $AEF$ 。

Apply the angle bisector ratio twice: $BD : DC = AB : AC$ in triangle $ABC,$ and $EG : GF = AE : AF$ in triangle $AEF$

解答：

这里 $AB = 3 + 9 = 12$ ， $AC = 10 + 27 = 37$ 。角 $B$ 为直角，所以 $BC = \sqrt{37^2 - 12^2} = 35$ ，且 $[ABC] = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 35 = 210$ 。这个四边形是从三角形 $ADC$ 中去掉三角形 $AGF$ 后剩下的部分，其中 $G$ 是 $\overline{AD}$ 与 $\overline{EF}$ 的交点。

在三角形 $ABC$ 中，由角平分线定理 $BD : DC = AB : AC = 12 : 37$ ，所以 $[ADC] = \frac{37}{49} \cdot 210 = \frac{1110}{7}$ 。在三角形 $AEF$ 中，射线 $AG$ 平分同一个角，所以 $EG : GF = AE : AF = 3 : 10$ ，从而 $[AGF] = \frac{10}{13}\,[AEF]$ 。另外， $\begin{aligned} [AEF] &= \frac{AE}{AB} \cdot \frac{AF}{AC}\,[ABC] \\ &= \frac{3}{12} \cdot \frac{10}{37} \cdot 210 \\ &= \frac{525}{37} \end{aligned}\text{。}$

因此 $\begin{aligned} [DCFG] &= \frac{1110}{7} - \frac{10}{13} \cdot \frac{525}{37} \\ &= \frac{1110}{7} - \frac{5250}{481} \\ &\approx 158.57 - 10.92 \\ &= 147.66 \end{aligned}$ 最接近的整数为 $148$ 。

Here $AB = 3 + 9 = 12,$ $AC = 10 + 27 = 37,$ and angle $B$ is right, so $BC = \sqrt{37^2 - 12^2} = 35$ and $[ABC] = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 35 = 210.$ The quadrilateral is triangle $ADC$ with triangle $AGF$ removed, where $G$ is the intersection of $\overline{AD}$ and $\overline{EF}.$

By the angle bisector theorem in triangle $ABC,$ $BD : DC = AB : AC = 12 : 37,$ so $[ADC] = \frac{37}{49} \cdot 210 = \frac{1110}{7}.$ In triangle $AEF,$ ray $AG$ bisects the same angle, so $EG : GF = AE : AF = 3 : 10$ and $[AGF] = \frac{10}{13}\,[AEF].$ Also $\begin{aligned} [AEF] &= \frac{AE}{AB} \cdot \frac{AF}{AC}\,[ABC] \\ &= \frac{3}{12} \cdot \frac{10}{37} \cdot 210 \\ &= \frac{525}{37}. \end{aligned}$

Therefore $\begin{aligned} [DCFG] &= \frac{1110}{7} - \frac{10}{13} \cdot \frac{525}{37} \\ &= \frac{1110}{7} - \frac{5250}{481} \\ &\approx 158.57 - 10.92 \\ &= 147.66, \end{aligned}$ and the closest integer is $148.$

2002 AIME I 第 10 题

答案：148

难度评级：2720

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