Question

设 $ABCD$ 为等腰梯形， $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$ ，且较长底边 $\overline{AD}$ 处的角为 $\frac{\pi}{3}$ 。两条对角线的长度为 $10\sqrt{21}$ 。点 $E$ 到顶点 $A$ 和 $D$ 的距离分别为 $10\sqrt{7}$ 和 $30\sqrt{7}$ 。令 $F$ 为从 $C$ 到 $\overline{AD}$ 的高的垂足。距离 $EF$ 可写成 $m\sqrt{n}$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 为正整数，且 $n$ 不被任何质数的平方整除。求 $m + n$ 。

Let $ABCD$ be an isosceles trapezoid with $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$ whose angle at the longer base $\overline{AD}$ is $\frac{\pi}{3}.$ The diagonals have length $10\sqrt{21},$ and point $E$ is at distances $10\sqrt{7}$ and $30\sqrt{7}$ from vertices $A$ and $D,$ respectively. Let $F$ be the foot of the altitude from $C$ to $\overline{AD}.$ The distance $EF$ can be expressed in the form $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

答案

答案：32

知识点：梯形正弦定理三角不等式极限情形界定

难度评级：2990

小提示：

三角不等式给出 $30\sqrt{7} = DE \le DA + AE$ ，所以 $DA \ge 20\sqrt{7}$

The triangle inequality gives $30\sqrt{7} = DE \le DA + AE,$ so $DA \ge 20\sqrt{7}$

大提示：

在三角形 $ACD$ 中用正弦定理得 $DA = 20\sqrt{7}\sin\angle DCA \le 20\sqrt{7}$ ，所以处处取等： $\angle DCA = 90^\circ$ ，且 $E$ 在射线 $DA$ 上、位于 $A$ 的外侧

The Law of Sines in triangle $ACD$ gives $DA = 20\sqrt{7}\sin\angle DCA \le 20\sqrt{7},$ so equality holds everywhere: $\angle DCA = 90^\circ$ and $E$ lies on ray $DA$ beyond $A$

解答：

由三角不等式， $30\sqrt{7} = DE$ $\le DA + AE$ $= DA + 10\sqrt{7}$ ，所以 $DA \ge 20\sqrt{7}$ 。另一方面，在三角形 $ACD$ 中， $D$ 处的角为 $\frac{\pi}{3}$ ，且 $AC = 10\sqrt{21}$ ，所以正弦定理给出 $\begin{aligned} DA &= \frac{AC \sin\angle DCA}{\sin\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{10\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sin\angle DCA \\ &= 20\sqrt{7}\sin\angle DCA \\ &\le 20\sqrt{7} \end{aligned}\text{。}$

两个界迫使 $DA = 20\sqrt{7}$ ，所以 $\angle DCA = 90^\circ$ ，并且三角不等式取等说明 $E$ 在直线 $AD$ 上，且 $A$ 在 $D$ 与 $E$ 之间。由直角三角形， $DC = \sqrt{DA^2 - AC^2}$ $= \sqrt{2800 - 2100}$ $= 10\sqrt{7}$ ，又因为 $\angle CDF = 60^\circ$ ，垂足满足 $DF = DC\cos 60^\circ = 5\sqrt{7}$ 。

点 $F$ 和 $E$ 在直线 $AD$ 上且位于 $D$ 的同侧，所以 $EF = DE - DF$ $= 30\sqrt{7} - 5\sqrt{7}$ $= 25\sqrt{7}$ ，因此 $m + n = 25 + 7 = 32$ 。

By the triangle inequality, $30\sqrt{7} = DE$ $\le DA + AE$ $= DA + 10\sqrt{7},$ so $DA \ge 20\sqrt{7}.$ On the other hand, in triangle $ACD$ the angle at $D$ is $\frac{\pi}{3}$ and $AC = 10\sqrt{21},$ so the Law of Sines gives $\begin{aligned} DA &= \frac{AC \sin\angle DCA}{\sin\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{10\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sin\angle DCA \\ &= 20\sqrt{7}\sin\angle DCA \\ &\le 20\sqrt{7}. \end{aligned}$

Both bounds force $DA = 20\sqrt{7},$ so $\angle DCA = 90^\circ,$ and equality in the triangle inequality means $E$ lies on line $AD$ with $A$ between $D$ and $E.$ From the right triangle, $DC = \sqrt{DA^2 - AC^2}$ $= \sqrt{2800 - 2100}$ $= 10\sqrt{7},$ and since $\angle CDF = 60^\circ,$ the foot satisfies $DF = DC\cos 60^\circ = 5\sqrt{7}.$

Points $F$ and $E$ are on line $AD$ on the same side of $D,$ so $EF = DE - DF$ $= 30\sqrt{7} - 5\sqrt{7}$ $= 25\sqrt{7},$ and $m + n = 25 + 7 = 32.$

2008 AIME I 第 10 题

答案：32

难度评级：2990

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解答：

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