Question

三角形 $ABC$ 位于笛卡尔平面内，面积为 $70$ 。点 $B$ 和 $C$ 的坐标分别为 $(12, 19)$ 和 $(23, 20)$ 。点 $A$ 的坐标为 $(p, q)$ 。边 $\overline{BC}$ 所对应的中线所在直线斜率为 $-5$ 。求 $p + q$ 的最大可能值。

Triangle $ABC$ lies in the Cartesian plane and has area $70.$ The coordinates of $B$ and $C$ are $(12, 19)$ and $(23, 20),$ respectively, and the coordinates of $A$ are $(p, q).$ The line containing the median to side $\overline{BC}$ has slope $-5.$ Find the largest possible value of $p + q.$

答案

答案：47

知识点：坐标几何鞋带公式中线（几何）

难度评级：2560

小提示：

边 $\overline{BC}$ 所对应的中线经过其中点 $\left(\frac{35}{2}, \frac{39}{2}\right)$ ，所以 $A$ 在直线 $y = -5x + 107$ 上

The median to $\overline{BC}$ passes through its midpoint $\left(\frac{35}{2}, \frac{39}{2}\right),$ so $A$ lies on the line $y = -5x + 107$

大提示：

写成 $A = (p, -5p + 107)$ ，并令鞋带公式给出的面积等于 $70$ ；此时 $p + q = 107 - 4p$ ，较小的 $p$ 给出较大的值

Write $A = (p, -5p + 107)$ and set the shoelace area equal to $70;$ then $p + q = 107 - 4p$ is larger for the smaller $p$

解答：

边 $\overline{BC}$ 所对应的中线经过 $\overline{BC}$ 的中点 $M = \left(\frac{35}{2}, \frac{39}{2}\right)$ 。过 $M$ 且斜率为 $-5$ 的直线是 $y = -5x + 107$ ，而 $A$ 在这条直线上，所以 $A = (p, -5p + 107)$ ，且 $q = -5p + 107$ 。

由鞋带公式，且 $B = (12, 19)$ 、 $C = (23, 20)$ ， $\begin{aligned} [ABC] &= \small \frac{1}{2}\left|{-p} + 12\bigl(20 - q\bigr) + 23\bigl(q - 19\bigr)\right| \\ &= \frac{1}{2}\left|980 - 56p\right| = 70 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $|56p - 980| = 140$ ，得 $p = 15$ 或 $p = 20$ 。

因为 $\begin{aligned} p + q &= p + (-5p + 107) \\ &= 107 - 4p \end{aligned}\text{，}$ 所以较小的 $p = 15$ 给出较大的和 $107 - 60 = 47$ 。

The median to $\overline{BC}$ passes through the midpoint $M = \left(\frac{35}{2}, \frac{39}{2}\right)$ of $\overline{BC}.$ The line through $M$ with slope $-5$ is $y = -5x + 107,$ and $A$ lies on this line, so $A = (p, -5p + 107)$ and $q = -5p + 107.$

By the shoelace formula with $B = (12, 19)$ and $C = (23, 20),$ $\begin{aligned} [ABC] &= \small \frac{1}{2}\left|{-p} + 12\bigl(20 - q\bigr) + 23\bigl(q - 19\bigr)\right| \\ &= \frac{1}{2}\left|980 - 56p\right| = 70, \end{aligned}$ so $|56p - 980| = 140,$ giving $p = 15$ or $p = 20.$

Since $\begin{aligned} p + q &= p + (-5p + 107) \\ &= 107 - 4p, \end{aligned}$ the smaller value $p = 15$ gives the larger sum $107 - 60 = 47.$

2005 AIME I 第 10 题

答案：47

难度评级：2560

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