Question

设 $\triangle ABC$ 中的点 $D$ 在 $\overline{BC}$ 上，且 $\overline{AD}$ 平分 $\angle BAC$ 。设 $\omega$ 为经过 $A$ 且在 $D$ 处与线段 $\overline{BC}$ 相切的圆。令 $E \ne A$ 和 $F \ne A$ 分别为 $\omega$ 与线段 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 的交点。已知 $AB = 200$ 、 $AC = 225$ ，并且 $AE$ 、 $AF$ 、 $BD$ 、 $CD$ 都是正整数。求 $BC$ 的最大可能值。

Let $\triangle ABC$ be a triangle with $D$ on $\overline{BC}$ such that $\overline{AD}$ bisects $\angle BAC.$ Let $\omega$ be the circle that passes through $A$ and is tangent to segment $\overline{BC}$ at $D.$ Let $E \ne A$ and $F \ne A$ be the intersections of $\omega$ with segments $\overline{AB}$ and $\overline{AC},$ respectively. Suppose that $AB = 200,$ $AC = 225,$ and all of $AE,$ $AF,$ $BD,$ and $CD$ are positive integers. Find the greatest possible value of $BC.$

答案

答案：340

知识点：圆幂角平分线定理整除性

难度评级：2840

小提示：

在 $D$ 处相切给出 $B$ 和 $C$ 的幂： $BD^2 = BE \cdot BA$ 与 $CD^2 = CF \cdot CA$ ；角平分线给出 $BD : DC = 8 : 9$ 。

Tangency at $D$ gives the powers of $B$ and $C:$ $BD^2 = BE \cdot BA$ and $CD^2 = CF \cdot CA;$ the bisector gives $BD : DC = 8 : 9.$

大提示：

写 $BD = 8t$ 、 $CD = 9t$ ；那么 $t = CD - BD$ 是整数，而 $AE$ 和 $AF$ 为整数迫使 $t$ 能被 $5$ 整除，同时 $AE \gt 0$ 给出 $t$ 的上界。

Write $BD = 8t,$ $CD = 9t;$ then $t = CD - BD$ is an integer, and integrality of $AE$ and $AF$ forces $t$ to be divisible by $5,$ while $AE \gt 0$ bounds $t.$

解答：

因为 $\omega$ 在 $D$ 处与 $BC$ 相切，由点 $B$ 的幂得 $BD^2 = BE \cdot BA$ ，由点 $C$ 的幂得 $CD^2 = CF \cdot CA$ 。角平分线定理给出 $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{9}$ ，所以 $BD = 8t$ 、 $CD = 9t$ ，其中 $t = CD - BD$ 是正整数。于是 $\begin{aligned} &BE = \frac{64t^2}{200} = \frac{8t^2}{25}, \\ &CF = \frac{81t^2}{225} = \frac{9t^2}{25} \end{aligned}$ 所以 $AE = 200 - \frac{8t^2}{25}$ ， $AF = 225 - \frac{9t^2}{25}$ 。

为使 $AE$ 和 $AF$ 都为整数，需要 $t^2$ 能被 $25$ 整除，也就是 $t = 5s$ 。此时 $AE = 200 - 8s^2 \gt 0$ 迫使 $s \le 4$ ，且 $BC = 17t = 85s$ 。当 $s = 4$ 时， $BC = 340$ ，并且 $BD = 160$ 、 $CD = 180$ 、 $AE = 72$ 、 $AF = 81$ 都是正整数；边长 $200, 225, 340$ 也形成合法三角形，因为 $200 + 225 \gt 340$ 。

$BC$ 的最大可能值为 $340$ 。

Since $\omega$ is tangent to $BC$ at $D,$ the power of $B$ gives $BD^2 = BE \cdot BA$ and the power of $C$ gives $CD^2 = CF \cdot CA.$ The angle bisector gives $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{9},$ so $BD = 8t$ and $CD = 9t,$ where $t = CD - BD$ is a positive integer. Then $\begin{aligned} &BE = \frac{64t^2}{200} = \frac{8t^2}{25}, \\ &CF = \frac{81t^2}{225} = \frac{9t^2}{25}, \end{aligned}$ so $AE = 200 - \frac{8t^2}{25}$ and $AF = 225 - \frac{9t^2}{25}.$

For $AE$ and $AF$ to be integers we need $t^2$ to be divisible by $25,$ that is, $t = 5s.$ Then $AE = 200 - 8s^2 \gt 0$ forces $s \le 4,$ and $BC = 17t = 85s.$ At $s = 4:$ $BC = 340,$ with $BD = 160,$ $CD = 180,$ $AE = 72,$ $AF = 81$ all positive integers, and the sides $200, 225, 340$ form a valid triangle since $200 + 225 \gt 340.$

The greatest possible value of $BC$ is $340.$

2026 AIME II 第 10 题

答案：340

难度评级：2840

小提示：

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解答：

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