Question

集合 $A=\{z:z^{18}=1\}$ 和 $B=\{w:w^{48}=1\}$ 都是复单位根的集合。集合 $C=\{zw:z\in A,\ w\in B\}$ 也是复单位根的集合。 $C$ 中有多少个不同的元素？

The sets $A=\{z:z^{18}=1\}$ and $B=\{w:w^{48}=1\}$ are both sets of complex roots of unity. The set $C=\{zw:z\in A,\ w\in B\}$ is also a set of complex roots of unity. How many distinct elements are in $C?$

答案

答案：144

知识点：单位根最小公倍数复数

难度评级：2270

小提示：

将各个根写成指数形式，其辐角分别是 $\frac{2\pi}{18}$ 和 $\frac{2\pi}{48}$ 的整数倍

Write the roots as exponentials whose arguments are multiples of $\frac{2\pi}{18}$ and $\frac{2\pi}{48}$

大提示：

这些辐角的和生成 $\frac{2\pi}{\operatorname{lcm}(18,48)}$ 的所有整数倍

The sums of those arguments generate all multiples of $\frac{2\pi}{\operatorname{lcm}(18,48)}$

解答：

$C$ 中各乘积的辐角为 $2\pi\left(\frac a{18}+\frac b{48}\right)=\frac{2\pi(8a+3b)}{144}\text{。}$ 由于 $\gcd(8,3)=1$ ， $8a+3b$ 的剩余类可生成模 $144$ 的每个剩余类。因此 $C$ 恰好是 $144$ 次单位根的集合。等价地，其阶为 $\operatorname{lcm}(18,48)=144$ 。

The arguments of products in $C$ are $2\pi\left(\frac a{18}+\frac b{48}\right)=\frac{2\pi(8a+3b)}{144}.$ Since $\gcd(8,3)=1,$ the residues $8a+3b$ generate every residue modulo $144.$ Thus $C$ is precisely the set of $144$ th roots of unity. Equivalently, its order is $\operatorname{lcm}(18,48)=144.$

1990 AIME 第 10 题

答案：144

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题