Question

将一枚均匀硬币抛掷 $10$ 次。设从不连续两次出现正面的概率化为最简分数后是 $\frac{i}{j}$ 。求 $i+j$ 。

A fair coin is to be tossed $10$ times. Let $\frac{i}{j},$ in lowest terms, be the probability that heads never occur on consecutive tosses. Find $i+j.$

答案

答案：73

知识点：递推计数斐波那契数列基本概率

难度评级：2000

小提示：

根据长度为 $n$ 的抛掷序列以反面还是正面结尾，分别计算有效序列数

Count valid length- $n$ toss strings according to whether they end in tails or heads

大提示：

所得递推式类似斐波那契数列，初始计数为 $2$ 和 $3$

The resulting recurrence is Fibonacci-like, with initial counts $2$ and $3$

解答：

设 $u_n$ 为不含连续正面的长度为 $n$ 的抛掷序列数。任何有效的长度为 $(n-1)$ 的序列后接 $\mathrm{T}$ ，可得到以反面结尾的有效序列；任何有效的长度为 $(n-2)$ 的序列后接 $\mathrm{TH}$ ，可得到以正面结尾的有效序列。因此 $u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$ ，其中 $u_1=2$ ，且 $u_2=3$ 。由此 $u_{10}=144$ 。所求概率为 $\frac{144}{2^{10}}=\frac{9}{64}$ ，所以 $i+j=9+64=73$ 。

Let $u_n$ be the number of length- $n$ toss strings with no consecutive heads. A valid string ending in tails is obtained by appending $\mathrm{T}$ to any valid length- $(n-1)$ string, while one ending in heads is obtained by appending $\mathrm{TH}$ to any valid length- $(n-2)$ string. Hence $u_n=u_{n-1}+u_{n-2},$ with $u_1=2$ and $u_2=3.$ This gives $u_{10}=144.$ The probability is $\frac{144}{2^{10}}=\frac{9}{64},$ so $i+j=9+64=73.$

1990 AIME 第 9 题

答案：73

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题